De mathematisering van de Ideeën

Mijn blog heeft nauwelijks bezoekers, maar blijkbaar wordt een enkele keer toch een artikeltje gelezen. Tot mijn verbazing is de reactie dan dat het stuk ‘moeilijk’ is terwijl degene die het moeilijk vond nota bene op een universiteit doceert dus gewend moet zijn de moeilijkste teksten te lezen. Misschien schrijf ik gewoon slecht – dat kan natuurlijk ook, maar ikzelf vind, zoals ik al eerder heb gezegd, dat ik me op deze blog van mijn popiejopie-kant laat zien met populaire onderwerpen zoals politiek en kunst en een toegankelijke, columnachtige stijl zonder bronvermelding e.d. (welke stijl ook voor mij prettig is omdat het me zo weinig tijd kost artikeltjes te schrijven). Voor de grap heb ik eens naar een paper gekeken die ik als bachelorstudent schreef en het verbaasde me eigenlijk zelf hoeveel filosofische kennis, diepgang en waarschijnlijk ook ‘moeilijkheid’ ik inmiddels ben kwijtgeraakt. Misschien is het aardig om zo’n paper hier te plaatsen om mezelf zo ook eens van mijn ‘serieuze’ kant te laten zien (waarbij ik dan wel helaas van mijn voetnoten eindnoten heb moeten maken – ikzelf heb een hekel aan eindnoten omdat die de tekst moeilijk leesbaar maken omdat je telkens heen en weer naar het eind toe moet - en waarbij onder meer het inspringen bij de citaten overigens niet correct is overgekomen maar daar komen jullie wel uit). Deze paper gaat over de metafysica van Plato, zodat het onderwerp belangwekkend is voor eenieder die in filosofie is geïnteresseerd: wat mij betreft begint de filosofie met de voorsocratici zoals Pythagoras, culminerend in Plato, en eindigt die in de 19^de eeuw met onder meer Hegel, culminerend in Nietzsche. Van alle filosofen moet je mijns inziens in ieder geval met name Plato en Nietzsche - als zeg maar de alfa en de omega van een denktraditie - hebben begrepen als je iets van filosofie wilt begrijpen (en ik geloof dat hier al een groot struikelblok ligt voor de gemiddelde filosofiestudent). Over Nietzsche’s ethiek heb ik ook een paper geschreven waarvan mijn docent erg onder de indruk was, dus misschien ga ik die ook nog hier posten.

De mathematisering van de Ideeën

Een onderzoek naar de invloed van wiskunde en pythagoreïsme in Plato’s metafysische ontwikkeling

1. Inleiding

In opmerkelijke tegenstelling tot de traditionele Plato-interpretatie binnen de Academie zelf, is de rol van pythagoreïsme en wiskunde bij hedendaagse (of laat-moderne) interpretaties van Plato’s filosofie vaak onderbelicht ten gunste van een beeld van Plato’s ontwikkeling in termen van de invloed van met name Socrates, Heraclitus en Parmenides met in de late dialogen (hooguit) een wijziging van de metafysica en methodologie in de richting van Aristoteles’ classificaties. Dit beeld heeft met name Aristoteles’ opvallend pythagoreske beschrijving van Plato’s (latere) leer (welke leer hij daarbij overigens fel bestreed) in met name Boek A van ‘Metafysica’ problematisch gemaakt, hetgeen in de 20^ste eeuw tot een verwoede controverse over Plato’s ‘echte’ metafysica heeft geleid tussen met name aanhangers en tegenstanders van een ‘ongeschreven leer’ die Plato zou hebben onderwezen.

In dit paper zal ik de methodologische en metafysische ontwikkeling in de dialogen van Plato onderzoeken, met daarbij bijzondere aandacht voor de invloed van wiskunde en pythagoreïsme, teneinde met name de latere metafysica van Plato te verhelderen en de vraag te kunnen beantwoorden of Aristoteles’ beschrijving van Plato’s leer overeenkomt met wat in de (latere) dialogen kan worden aangetroffen en daarmee de controverse tussen de ‘esoteristen’ en ‘anti-esoteristen’ kan worden beslecht. Daartoe zal ik eerst Aristoteles’ beschrijving van Plato’s leer bespreken. Vervolgens zal ik de ontwikkeling van Plato’s leer in de dialogen schetsen voor wat betreft de ten behoeve van het onderzoek relevante aspecten. Ten slotte zal ik de standpunten ten aanzien van het esoterisme-debat schetsen en daarin mijn positie bepalen.

2. Plato’s metafysica volgens Aristoteles

De passage van Aristoteles die zoveel verwarring omtrent Plato’s leer heeft veroorzaakt, is deel 6 van Boek A van ‘Metafysica’. Dit deel beschrijft Plato’s leer en volgt het deel waarin de leer van de pythagoreërs en de Eleaten is behandeld. De eerste zin (987a29-31) luidt:

            “After the systems we have named came the philosophy of Plato, which in most aspects followed these thinkers, but had pecularities that distinguished it from the   philosophy of the Italians.”[1]

In wat volgt wordt duidelijk dat Aristoteles met de “Italianen” de pythagoreërs bedoelt, want de rest van het deel bestaat voornamelijk uit een vergelijking tussen de leer van Plato en de pythagoreërs waaruit – tot verbijstering van menigeen – blijkt dat de verschillen bijzonder klein zijn.[2]

Na een korte uitleg hoe en waarom Plato zijn Vormenleer ontwikkelde, stelt Aristoteles in 987b11-14 simpelweg dat Plato slechts de naam veranderde in vergelijking met het pythagoreïsme:

            “Only the name ‘participation’ was new; for the Pythagoreans say that things exist by    ‘imitation’ of numbers, and Plato says they exist by participation, changing the name.    But what the participation or the imitation of the Forms could be they left an open    question.”

Hier suggereert Aristoteles bovendien dat getallen en Vormen identiek zijn voor Plato, maar in de zin eropvolgend (987b14-18) schrijft hij Plato de volgende onderscheiding toe:

            “Further, besides sensible things and Forms he says there are the objects of          mathematics, which occupy an intermediate position, differing from sensible things in being eternal and unchangeable, from Forms in that there are many alike, while the           Form itself is in each case unique.”

Iets verderop in 987b27-31 benadrukt hij hiermee tot tweemaal toe het verschil met de pythagoreërs: waar deze laatsten beweerden dat de dingen de getallen zijn, vat Plato de getallen gescheiden van de zintuiglijke dingen op. Volgens Gaiser ontwikkelde Plato’s filosofie zich in de richting van een ‘mathematisering’ van de ontologie doordat de bemiddelende rol van de wiskundige objecten hem in staat stelde om de gehele werkelijkheid te structureren vanuit de (later te bespreken) twee beginselen van het Ene (hen) en de Onbepaalde Tweeheid (aoristos duas) alsmede een structurele overgang te construeren tussen de Vormen en de dingen op grond van een beslissende analogie tussen mathematische dimensionaliteit en de zijnsstructuur in de vorm van (Vorm)getal of eenheid (monas), lijn, vlak en lichaam.[3] Inderdaad lijkt Plato dit idee (ten dele) toe te passen in ‘Timaeus’, waar in 53c e.v. de zintuiglijke dingen worden opgebouwd uit meetkundige figuren. Oosthoek vermeldt dat Aristoteles meedeelt dat de Academie de pythagoreërs navolgde in hun pogingen meetkundige figuren uit getallen te verklaren, waarbij Oosthoek de twee door Sextus Empiricus beschreven theorieën op dit gebied beschrijft.[4] Volgens de “oudere pythagoreërs” zouden de getallen voortkomen uit de eenheid (monas) en de onbepaalde twee en zou het punt als beginsel met de één, de lijn met de twee, de driehoek met de drie en de piramide met de vier overeenkomen. Volgens anderen zou het punt als beginsel volstaan als grondbeginsel van de meetkundige figuren. Oosthoek suggereert dat Speusippus mogelijk de tweede theorie aanhing, Xenocrates mogelijk de eerste, maar durft zich niet uit te laten over Plato. Ook Aristoteles achtte overigens rekenkunde algemener (meer slechts betrekking hebbend op de eerste principes) en daarmee exacter (akribês) dan de meetkunde:[5] dat de Griekse wiskunde vooral uit meetkunde bestond had vooral te maken met het feit dat men de aritmetica niet streng deductief kon bedrijven vanwege het probleem van de irrationale getallen die het getalbegrip van de oude Grieken (natuurlijke getallen en hun verhoudingen) te boven gingen.[6] Dit was tevens een metafysisch probleem voor de pythagoreërs omdat zij alles wilden reduceren tot getal, maar blijkbaar dus ook voor Plato’s Academie. Eén belangrijk verschil tussen Plato en de pythagoreërs lijkt evenwel te zijn dat Plato geen getalsymboliek of -mystiek bedreef (zoals de opvatting dat het getal 4 = rechtvaardigheid of een verering van de tetraktys), maar een meer logisch-wetenschappelijke afleiding zocht.

Vervolgens introduceert en beschrijft Aristoteles in 987b18-27 de twee beginselen die Plato zou hebben aangenomen:

            “Since the Forms were the causes of all other things, he thought their elements were       the elements of all things. As matter, the great and the small were principles; as            essential reality, the One; for from the great and the small, by participation in the One,            come the Numbers.

            But he agreed with the Pythagoreans in saying that the One is substance and not a          predicate of something else; and in saying that the Numbers are the causes of the         reality of other things he agreed with them; but positing a dyad and constructing the        infinite[7] [apeiron: unlimited] out of great and small, instead of treating the infinite           [apeiron: unlimited] as one, is peculiar to him.”

Even later komt Aristoteles tot een conclusie (988a8-17) waarbij we echter ook nieuwe dingen leren:

            “Plato, then, declared himself thus on the points in question; it is evident from what       has been said that he has used only two causes, that of the essence and the material       cause (for the Forms are the causes of the essence of all other things, and the One is     the cause of the essence of the Forms); and it is evident what the underlying matter is,           of which the Forms are predicated in the case of sensible things, and the One in the       case of Forms, viz. that this is a dyad, the great and the small. Further, he has assigned   the cause of good and that of evil to the elements, one to each of the two, as we say             some of his predecessors sought to do, e.g. Empedocles and Anaxagoras.”

Elders in zijn werk zegt Aristoteles vergelijkbare dingen over Plato’s leer, waarbij nog met name van belang zijn de passages 991b9-10 van Boek A of 1086a10-11 van Boek M, waarin de Vormen uitdrukkelijk met getallen worden geïdentificeerd, en 1091a36-b3 en b13-15 van Boek N waarin het Ene met het Goede wordt geïdentificeerd. Ook onderscheidt Aristoteles in Boek M 1078b9-12 de oorspronkelijke Vormenleer “zonder verbinding met de aard van de getallen” van een latere versie waarin die verbinding wel is gelegd, waarmee hij in Plato’s ontwikkeling een wijziging van de Vormenleer suggereert welke heeft geresulteerd in de versie die hij in Boek A heeft beschreven. Boek A vervolgt met maar liefst 23 bezwaren tegen Plato’s Vormenleer (grotendeels herhaald in boek M), waarvan het merendeel is gericht tegen de aan Plato toegeschreven getallenmetafysica. Aristoteles’ kritiek is met name gericht op het door Plato gestelde gescheiden of onafhankelijke bestaan van de Vormen en getallen en in 1091b13-1092a10 van Boek N vult hij dit aan met kritiek op de gelijkstelling van het Goede met de grondslag van de getallen.

Plato’s latere metafysica wordt in de beschrijving van Aristoteles dus gekenmerkt door enerzijds het beginsel van het Grote en Kleine (de Dyade), dat het onbegrensde en het kwaad voortbrengt, en anderzijds het beginsel van het Ene, dat de ousia van Vormen en het goede voortbrengt, naar men mag aannemen door middel van begrenzing: participatie van de Dyade in het Ene brengt de getallen en de Vormen voort, participatie van de Dyade in de Vormen de zintuiglijke dingen.[8] Reeds dit basisschema laat veel pythagorese elementen zien. Ik wijs daartoe in de eerste plaats op de pythagorese tegenstellingen van grens en onbegrensd, één en veelheid, goed en kwaad als beginselen van alles wat er is en de pythagorese opvatting dat het getal voortkomt uit het ene.[9] Een uitgebreidere maar controversiëlere bron voor de relevante opvattingen van de pythagoreërs levert Sextus Empiricus in Adversus Mathematikos X, 248-283: al heeft Sextus Empericus het uitdrukkelijk over “pythagoreërs”, geloven onder meer de ‘esoteristen’ Gaiser en Krämer dat hier Plato’s ‘ongeschreven leer’ wordt uiteengezet. Deze leer zich als volgt samenvatten. De twee beginselen eenheid (monas) en de onbepaalde tweeheid (aoristas duas) brengen de getallen voort doordat het ene een grens stelt en de onbepaalde tweeheid een onbepaalde hoeveelheid voortbrengt. Boven deze beginselen staat de één (hen) omdat deze door middel van de identiteit (autotês) met zichzelf als eenheid (monas) wordt gedacht en aan zichzelf toegevoegd op grond van de andersheid (heterotês) de onbepaalde twee voortbrengt. De eenheid en onbepaalde twee brengen de dingen voort waarvan er drie soorten zijn: wat op zichzelf bestaat (en dat op grond van verschil wordt gedacht), wat als tegenstelling bestaat en wat ten opzichte (pros ti) van elkaar bestaat. De tegenstellingen kunnen worden samengevat onder die van ‘gelijk’ (een product van de eenheid) en ‘ongelijk’ (een product van de onbepaalde twee), de relatieve paren onder ‘overschot’ en ‘tekort’ (een product van de onbepaalde twee) dat een midden (meson) kent waarin de leden van het relatieve paar verdwijnen.[10]

3. De vroege dialogen: wiskunde als paradigmatische technê

Tot en met ‘Gorgias’ toont Plato zich de leerling van Socrates die trouw de elenctische methode van zijn leermeester hanteert in de hoop definities van ethische begrippen te vinden (en waarbij de dialoogvorm de methode in de praktijk laat zien waarbij Socrates de overtuigingen van zijn gesprekspartners – en via hen die van hemzelf – grondig onderzoekt en weerlegt). Maar Plato lijkt geen genoegen te willen nemen met de doorgaans aporetische uitkomst en de daaraan verbonden wijsheid dat hij ten minste weet dat hij niets weet.[11] Aristoteles schrijft in Boek A, 987a32-987b1, van ‘Metafysica’ dat Plato de heraclitische opvatting overnam dat van zintuiglijke objecten geen kennis mogelijk is omdat deze voortdurend in beweging zijn[12] en reeds in de vroege dialogen richt Plato zijn blik op de wiskunde als paradigmatisch voorbeeld van epistemologische helderheid, stabiliteit en betrouwbaarheid en dus van kennis (technê). Zo maakt Plato in de ‘Euthyphro’ 7b6-7d5 een scherp onderscheid tussen moraal, waarover een meningsverschil vaak niet kan worden opgelost, en getal (arithmos), waarover elk meningsverschil eenvoudig kan worden opgelost door middel van berekening (logismon).[13] In ‘Ion’ 531d12-e4, ‘Charmides’ 166a3-7, ‘Georgias’ 451ba7-c5 en indirect ook in ‘Laches’ 192d-193d wordt wiskunde opgevoerd als een paradigmatische vorm van technê, die hierdoor wordt gekenmerkt dat het een duidelijk afgebakend onderwerp heeft. Zo ook wordt in ‘Politeia’ 522c5-9 gesteld dat elke technê en epistêmê in arithmos moet participeren, hetgeen volgens Roochnik in ruime zin kan worden opgevat dat zij net als de wiskundige disciplines een duidelijk afgebakend onderzoeksonderwerp moeten hebben dat hen helderheid en autoriteit verleent.[14] Dit idee van begrenzing of bepaling als noodzakelijke voorwaarde voor kennis, doet sterk denken aan de opvatting van de pythagoreër Philolaus:

            “For there will not even be an object of apprehension at all if everything is           indeterminate.

            And indeed all objects of apprehension have arithmos, for it is not possible for us to       think of or apprehend anything without this.”[15]

Kennis vereist dus bepaaldheid (het kunnen onderscheiden van ‘dit’ en ‘dat’) en die bepaaldheid wordt door het getal bewerkstelligd.[16]

Niet alleen is wiskunde in de vroege dialogen een toonbeeld van nastrevenswaardige technê, in de ‘Gorgias’ legt Plato tevens expliciet een verband tussen het moreel goede en wiskunde. In de dialoog meent Callicles dat juist leven impliceert dat de verlangens zo groot mogelijk zijn en niet worden ingeperkt (492a1-3), waarop Socrates hem wijst op de meetkundige orde van de kosmos en wijt hij in 508a Callicles’ gebrek aan zelfbeheersing (pleonexia) aan diens negeren van de meetkunde:

            “it has escaped you that geometrical equality has great power among both gods and        men; you go in for unequality (pleonexia) because you neglect geometry.”.

Hier treedt wiskunde zelfs niet slechts op als een (pedagogisch) instrument om de ziel van het zintuiglijke en pleonexia af te keren en naar het rationele en het goede toe te richten, maar is wiskundige gelijkheid verheven tot de maat aller dingen. In scherp contrast met Socrates, die wiskundige studie volgens Xenophon juist uitdrukkelijk afwees, had Plato zich inmiddels de wiskundige kennis van zijn tijd eigen gemaakt, zoals ‘Hippias Major’ 303b-c reeds laat zien omdat alleen een wiskundige (zoals Hippias) het daar gehanteerde voorbeeld dat gebruik maakt van irrationale lengtes begrijpt. Dat de wiskunde sinds ‘Gorgias’ een dominante plaats is gaan innemen in Plato’s denken is waarschijnlijk het gevolg van een ontmoeting met pythagoreërs op Syracuse die plaats had gevonden kort voordat Plato ‘Gorgias’ schreef, waarbij met name Archytas grote indruk op Plato moet hebben gemaakt, niet alleen omdat deze een briljant wiskundige was maar – in opvallend contrast met Socrates – op zowel politiek als metafysisch gebied uiterst succesvol was.[17]

4. De middendialogen: wiskunde als epistêmê

De breuk met Socrates krijgt zijn eerste uitdrukkelijke vorm in de ‘Meno’, waarin Plato Meno de elenctische methode van Socrates laat bekritiseren.[18] Als antwoord op ‘Meno’s paradox’ laat Plato Socrates de leer van de wederherinnering (anamnêsis) formuleren dat met een meetkundig voorbeeld wordt gedemonstreerd. Sommigen vatten dit voorbeeld op als schoolvoorbeeld van Socrates’ elenchos-methode, maar ik denk dat het een nieuwe methode is. De elenctische methode leidt immers slechts tot onderzoek en weerlegging van gegeven opvattingen en zo meestal tot aporie, terwijl de anamnêsis-methode de ziel wil zuiveren van de door ervaring opgedane valse meningen om zo toegang te krijgen tot de ware a priori-kennis. Met louter de elenchos-methode zou de slaaf de juiste oplossing van het meetkundige probleem nooit hebben kunnen vinden omdat de oplossing niet in een te geven – rationaal – getal zit, zodat die methode (opnieuw) slechts tot aporie zou hebben geleid: de slaaf vindt de oplossing doordat Socrates zijn aandacht op de diagonaal van het gegeven vierkant vestigt waarmee hij zijn in het leven opgedane meningen loslaat ten gunste van echte kennis die buiten de ervaring ligt. Niet alleen lost de nieuwe methode ‘Meno’s paradox’ op, het wijst ook vooruit naar de Vormenleer van de klassieke middenperiode. De combinatie van een meetkundig voorbeeld om de nieuwe methode om tot kennis te komen te demonstreren en de typisch pythagorese opvatting van wedergeboorte, waarmee de leer van anamnêsis is verbonden, lijkt sterk te wijzen naar een pythagorese bron die Plato in ‘Meno’ tot zijn nieuwe methode inspireert.

Bovendien introduceert Plato in ‘Meno’ de eveneens aan de meetkunde ontleende methode van de ‘hypothese’.[19] De hypothese wijkt af van de socratische methode omdat deze laatste vereist dat de spreker alleen opvattingen naar voren brengt waar hij oprecht in gelooft terwijl dit bij de hypothese uitdrukkelijk niet het geval is. In ‘Phaedo’ 100-101 wordt de hypothese-methode uitgebreid doordat daar niet alleen de noodzakelijk voorwaarden van de hypothese moeten worden getoetst op grond van de consistentie van haar consequenties, maar ook de voldoende voorwaarden moeten worden gegeven door telkens een hogere hypothese te geven (“whichever higher assumption seems best to you”) totdat men niet hoger kan of hoeft te gaan (en in ‘Politeia’ 510b-511d tot een niet-hypothetisch principe is bereikt). Hiermee is de elenctische methode ingeruild voor de demonstratieve, op axioma’s gestoelde, methode van de meetkunde.[20] De hypothese-methode zal onder meer ‘Politeia’, ‘Parmenides’ en ‘Theaetetus’ domineren.[21]

Met de zo gevormde hypothese-methode wijzigt ook de ontologie: Vormen worden kenbaar door middel van hun relaties tot elkaar die door de (discursieve) rede worden ontdekt. En met de Lijn van ‘Politeia’ creëert Plato zelfs een hiërarchie van Vormen.[22] Maar daarmee is ook het filosofisch onderzoek naar het goede elitair en de ideale samenleving hiërarchisch geworden. Tegen de tijd dat Plato de middenboeken van de ‘Politeia’ had geschreven moet hij worden geacht zich zelf intensief in de wiskunde te hebben bekwaamd en zich met (vooraanstaande) wiskundigen te hebben omringd, waarbij hij in die kring ook als richtinggevend in het onderzoek heeft opgetreden.[23] Opnieuw in scherp contrast met zijn leraar Socrates die filosofisch onderzoek door iedereen bepleitte,[24] was Plato in zijn klassieke middenperiode ervan overtuigd geraakt dat filosofisch onderzoek naar het goede slechts ondernomen dient te worden door een enkeling na een langdurige studie van de wiskunde – in Boek 7 518b-531b en 537b-d schrijft Plato een tienjarig lesprogramma, bestaande uit louter wiskunde, voor aan toekomstige heersers – omdat wiskunde de ziel naar het zijn (het onveranderlijke) in plaats van het worden (het veranderlijke) keert hetgeen de basis vormt voor kennis van het goede.[25] Reeds in de ‘Meno’ 98b-c had de Platoonse Socrates afstand genomen van Socrates’ meer historisch-authentieke standpunt dat kennis of zelfonderzoek is vereist om goed te handelen, zodat het filosofisch onderzoek ook veilig uitsluitend door een elite kan worden verricht.

Maar tegelijkertijd wordt in ‘Politeia’ wiskunde, die met zintuiglijke beelden werkt en hypothetisch is, gescheiden van dialectiek die louter met Ideeën werkt en een non-hypothetisch startpunt bereikt. Daarbij herhaalt de ‘Politeia’ een zekere relatie tussen wiskundigen en dialectici die reeds in ‘Euthydemus’ was geformuleerd: wiskundigen leggen de werkelijkheid bloot, maar alleen dialectici kunnen die kennis op juiste wijze gebruiken.[26] Het gaat Plato dan ook niet slechts om een adequate beschrijving van de wereld te kunnen geven, maar hij blijft trouw aan Socrates in de zin dat de filosofie moet leiden tot een ethisch inzicht en een goed leven. Niet alleen moet de dialecticus de (wiskundige) wetenschappen funderen in een non-hypothetisch “beginsel van alles” zodat ze niet slechts een “droom” blijven, hij moet die kennis ook toepassen om het goede te bewerkstelligen (in de ‘Politeia’ moet hij zo als filosoof-koning op grond van die kennis een goede samenleving bewerkstelligen). Daarvoor is de wetenschap onontbeerlijk omdat alles wat bestaat is gemodelleerd naar het beginsel van het goede (dat daarmee voorbij het zijnde ligt): de wiskunde legt de structuur en ordening van de dingen bloot maar alleen de dialecticus heeft het inzicht dat deze ordening een goede ordening is en het model levert voor het goede menselijk handelen. Inzicht in het “beginsel van alles” is dan ook waarschijnlijk het metafysisch inzicht dat deze wereld de beste van alle mogelijke werelden is[27] en er is dan ook veel voor te zeggen om de Idee van het Goede van de Zon-metafoor in verbinding te brengen met het beginsel van alles van de Lijn-metafoor: niet alleen hebben de dingen hun (noodzakelijke en voldoende) oorzaak in de (volmaakte) Ideeën, maar ook het geheel van wat er is is volmaakt of ideaal, hetgeen niet door de rede gevat kan worden maar slechts het intellect kan inzien. Zoals het goede alles tot een samenhangende eenheid brengt, kan alleen het intellect die eenheid vatten.[28]

5. ‘Parmenides’: een overgangsdialoog

In ‘Parmenides’ laat Plato een oude Parmenides een aantal kritiekpunten leveren op de klassieke Ideeënleer die wordt vertegenwoordigd door een jonge Socrates.[29] Net als Parmenides’ absolute Ene zijn de Ideeën van Plato absoluut, één, volmaakt, onveranderlijk, buiten tijd en ruimte en datgene wat werkelijk (ten volle) bestaat en gekend kan worden. Maar anders dan Parmenides hanteert Plato eindeloos veel onveranderlijke zijnden en kent Plato aan de zintuiglijke dingen een zekere mate van werkelijkheid toe bij wijze van afbeelding van of participatie in de Vormen. De argumenten die Parmenides in het eerste deel van de dialoog tegen de Vormenleer geeft, betreffen in feite alle aspecten van de relatie tussen Vormen en dingen: het probleem van de participatie van het afstotelijke en het vele in Vormen die volmaakt en één zijn, de rol van Vormen als de oorzaak en paradigma van de dingen (dat leidt tot een oneindige regressie) en ten slotte “the greatest of all [difficulties]” (133a) dat als de Vormen absoluut zijn en dus van de dingen gescheiden we de Vormen niet kunnen kennen. Toch zijn er onveranderlijke Vormen nodig, betoogt Parmenides, want anders heeft de mens “nothing upon which to fix his thought” (135b9) en “the power of dialectic will be totally destroyed” (135c2). Hiermee wordt gesuggereerd dat de Vormenleer in gewijzigde vorm gehandhaafd moet blijven en wat er moet worden gewijzigd is in feite ook al duidelijk gemaakt: nadat in het begin van de dialoog waarin Socrates zijn Vormenleer uiteenzet telkens de absoluutheid van Vormen is benadrukt, benadrukt Parmenides aan het einde van het eerste deel dat het grootste probleem precies die typisch Eleatische absoluutheid van de Vormen is.[30]

De methode die Parmenides dan in 135c-136c geeft om het probleem op te lossen is een aanvulling op de hypothese-methode van de middenperiode: niet alleen de consequenties van de hypothese dat iets bestaat moet worden onderzocht maar ook de consequenties van de hypothese dat het ding niet bestaat. Dit laatste is een methode die als reductio ad absurdum in de wiskunde vaak wordt gebruikt, al refereert Parmenides in de dialoog in 135e1 aan de reductio ad absurdum van Zeno’s argumentatie tegen het vele (en op zichzelf lijkt het wat op de elenchos-methode die nu wordt gecombineerd met de hypothese dat iets wel bestaat). Vervolgens analyseert Parmenides de gevolgen van de hypothese dat het Ene bestaat voor 1) het Ene in relatie tot zichzelf 2) het Ene in relatie tot het andere 3) het andere in relatie tot het Ene 4) het andere in relatie tot het andere, en de gevolgen van de hypothese dat het Ene niet bestaat voor 5) het Ene in relatie tot het andere 6) het Ene in relatie tot zichzelf 7) het andere in relatie tot het Ene 8) het andere in relatie tot het andere. Uit de resultaten blijkt dat als de Vormen en de dingen slechts in relatie tot zichzelf bestaan, zowel de Vormen als de dingen volstrekt onkenbaar zijn (waarmee het grootste probleem van het eerste deel wordt bevestigd en uitgebreid). Bovendien is het Ene dat bestaat ononderscheidbaar van het Ene dat niet bestaat, hetgeen ook aan het slot in 166c wordt bevestigd, en is het bestaan van het Ene op zichzelf net zo ondenkbaar als het niet bestaan van het Ene op zichzelf: de grondregels van Parmenides’ metafysica, waarbij wat is niet niet kan zijn en denken en zijn hetzelfde zijn, zijn zo ondermijnd. Voorts is de argumentatie van de hypothese 1 één grote weerlegging van Parmenides’ ontologie: alle kenmerken die Parmenides aan het absolute Ene toeschrijft worden in het argument ontkend, inclusief het Zijn en de kenbaarheid ervan (141e-142a).[31]

Tegelijkertijd ondersteunt de argumentatie van hypothese 2, waarbij het Ene in relatie tot het andere wordt onderzocht, juist de ontologie van de pythagoreërs: het Ene genereert een onbepaalde veelheid (apeiron plêthos) (143a) die door middel van de rekenkundige operaties, dat is participatie in het Ene, de reeks getallen voortbrengt (143e-144a) die op hun beurt de dingen voortbrengen (144a-b) alsmede het begrensde (peras) doordat het geheel van het Ene en de eenheden van haar (onbepaald veel) delen begrensd zijn (144e-145a).[32] En indien het Ene begrensd is, heeft het een begin, een midden en een einde (145a-b2) welke triade ongetwijfeld niet toevallig volgens de pythagoreërs het fundament vormt van alle dingen in de wereld.[33] Waar bovendien het Eleatische Ene van hypothese 1 tot een negatief resultaat leidt, namelijk dat dit Ene niet bestaat en onkenbaar is, leidt het pythagorese Ene van hypothese 2 tot een positief resultaat: dit Ene bestaat en is kenbaar (155d). Meer in het algemeen leren de conclusies van de verschillende hypotheses dat al het zijnde, zowel het Ene of bepaalde (de Vorm) als het vele of onbepaalde (de dingen), slechts kan bestaan in relatie met het andere en dat elk zijnde zowel één als veel is.[34]

‘Parmenides’ is aldus een overgangsdialoog die zich ontdoet van de meer Eleatische ontologie van de middenperiode en die de meer pythagorese ontologie van de late periode inluidt. Daarbij kunnen met name in hypothese 2 tevens reeds elementen van Aristoteles’ beschrijving van Plato’s leer in Boek A van de ‘Metafysica’ worden aangetroffen, in het bijzonder dat de getallen voortkomen uit de participatie van het onbegrensde in het Ene dat begrenzing is en dat de getallen de dingen mogelijk maken. Dat de Dyade waar Aristoteles over spreekt wel moet verwijzen naar de apeiron plêthos waarover Plato in ‘Parmenides’ spreekt, blijkt ook uit de uitzondering die Aristoteles noemt in de generatie van getallen: “…and his making the other entity besides the One a dyad was due to the belief that the numbers, except those which were prime, could be neatly produced out of the dyad as out of some plastic material” (987b33-34). Inderdaad kan het vermenigvuldigen van de even en oneven getallen die Plato in hypothese 2 opvoert om de getallen te genereren niet de priemgetallen genereren.[35]

Dat Plato zijn ontologie ten gunste van een meer pythagorese leer wijzigde, heeft waarschijnlijk zijn oorzaak niet slechts in een ongenoegen met het Eleatisch absolutisme (dat “vele problemen” meebrengt volgens Parmenides in 135a) of in een partij kiezen voor de pythagoreërs in de filosofische strijd tussen de twee Italiaanse scholen waar Plato mee in aanraking kwam ten tijde van zijn politieke avonturen in Sicilië, maar ook met een ontwikkeling in de wiskunde waarmee een oud probleem van de pythagoreërs, namelijk die van de incommensurabele grootheden, werd opgelost door nota bene het Academielid Eudoxus van Knidos ten tijde van ‘Parmenides’.[36] Dat dit probleem ook Plato en de Academie intensief bezighield, blijkt wel uit het feit dat Plato in zijn dialogen herhaaldelijk naar dit probleem verwijst[37] en dat de twee grootste wiskundigen van de Academie, Theaetetus en Eudoxus, met name op dit terrein baanbrekend werk hebben verricht.[38] De oplossing van Eudoxus bestond in een definitie van de gelijkheid van twee verhoudingen, waarbij het niet uitmaakt of die verhoudingen commensurabel zijn, en komt in de meer moderne terminologie van Dedekind erop neer dat elk getal, ongeacht of deze rationaal of irrationaal is, kan worden gedefinieerd op grond van een limiet of snede tussen twee onbepaald grote verzamelingen van rationale getallen die alle groter (of gelijk) respectievelijk kleiner zijn.[39] Waar hypothese 1 van ‘Parmenides’ in 140c-d al naar de kwestie van incommensurabiliteit verwijst, zo verwijst hypothese 2 naar Eudoxus’ oplossing ervan in 151c-d (alsmede in 155e-157b waar tijd het continuüm is waarin wordt gesneden, waarbij ‘Timaeus’ 37d7-8 leert dat tijd getalsmatig moet worden opgevat). Maar niet alleen de getallen alsmede de meetkundige figuren en lichamen maar ook (de kwaliteiten van) de zintuiglijke objecten kunnen op vergelijkbare wijze worden gedacht te worden voortgebracht door sneden in een continuüm van groter en kleiner: zo is een bepaalde temperatuur een snede in het continuüm van warmer en kouder. Op grond van Eudoxus’ ontdekking wordt zo begrijpelijk waarom Plato de pythagorese eenheid van apeiron verving door de dyade van het Grote en Kleine. Eudoxus’ oplossing wekte bovendien – zeer waarschijnlijk ook in Plato’s Academie – een hernieuwd vertrouwen in het oude pythagorese ideaal van een arithmetica universalis, waarbij ook Plato’s probleem van de (in zekere zin incommensurabele) verhouding tussen Vormen en dingen een numerieke oplossing kon vinden, welke oplossing hij in de ‘Philebus’ zou uitwerken.[40]

6. De vroeg-late dialogen: ‘Sophist’, ‘Theaetetus’, ‘Timaeus’

In tegenstelling tot Speusippus die de Vormen geheel verwierp,[41] achtte Plato de Vormen onontbeerlijk als object van kennis. Maar opnieuw wijzigt de methodologie en ontologie. In de ‘Sophist’ wordt de aard van kennis verhelderd en daartoe in 253d1-3 de dialectiek geherdefinieerd tot een ‘bijeennemen’ (sunagôgê) en ‘uiteennemen’ (diairesis) die zo moet leiden tot de definitie (logos) van het onderzochte ding. Dit heeft – in contrast met de eerdere dialogen – de ontologische implicatie dat Vormen onderling relaties van menging en uitsluiting hebben. Ook wordt in 258b-d de Vorm van het niet-Zijnde geïntroduceerd, waarmee de onware logos van de sofist kan worden begrepen, en in 246 e.v. wordt – tegen de “vrienden van de Ideeën” – de strikte scheiding tussen zijn en worden losgelaten. De vijf belangrijkste Vormen worden geïdentificeerd als Beweging en Rust, Andersheid en Hetzelfde en Bestaan. Waar Vormen zowel in Andersheid en Hetzelfde participeren, participeren de dingen slechts in Andersheid: dingen blijven aldus afhankelijk van Vormen voor hun bepaling. Deze rol van Andersheid en Hetzelfde lijkt sterk op die in het pythagorese schema bij Sextus Empiricus, waar Andersheid en Hetzelfde de onbepaalde twee en de eenheid voortbrengen.[42] ‘Theaetetus’ onderzoekt voorts de ervaring als bron van kennis, verwerpt het relativisme en verheldert de status van zintuiglijke objecten.

De status en chronologische positie van ‘Timaeus’ is controversieel. De afleiding van de (elementaire) dingen uit driehoeken in 53c e.v. (door nota bene de pythagoreër Timaeus van Locri) doet pythagorees aan, al is het in dat verband opmerkelijk dat meetkundige figuren in plaats van getallen de principes van de dingen vormen. Dit is misschien minder vreemd als we met Owen aannemen dat de dialoog uit de middenperiode van Plato stamt[43] en mogelijk verwijzen de nog hogere maar niet uitgesproken principes van 53d8 naar die getallen.[44] De dialoog vertoont veel parallellen met Parmenides’ Weg van de Mening, waarvan het feit dat Plato telkens benadrukt dat het betoog slechts een muthos is slechts de bekendste is.[45] Maar bovenal wil Plato met deze dialoog iets zeggen over de relatie tussen geest (noûs; in de vorm van een goede Demiurg of God), mathematische objecten en Vormen enerzijds en de wereld van veranderlijke dingen anderzijds. Met het beeld van de goede Demiurg in 29e-30a wordt de goedheid van de ordening van de wereld benadrukt. Met het concept van de ontvangst-oord (hupodoche) probeert Plato invulling te geven aan het begrip van participatie dat voorheen nog slechts een lege metafoor was (waarbij wordt aangesloten bij de beeld-metafoor van de Lijn door de hupodoche als een soort spiegel voor te stellen). Daarbij zet de ontvangst van de Vormen in de hupodoche alles in beweging door de wederzijdse krachten (52e2-5) waarop vervolgens God (deos) de dingen gaat ordenen op grond van Vorm en getal (53b3-5). Maar deze uitleg levert geen bevredigende ontologie of oplossing van het participatieprobleem, reeds omdat het opnieuw slechts metafoor bevat, nu in de vorm van een muthos die geen kennis kan bevatten: zoals in 29b3-c3 betoogd is van de veranderlijke dingen als afbeelding van het onveranderlijke geen kennis en waarheid maar slechts geloof en waar-schijnlijkheid mogelijk. Desondanks is er in de ‘Sophist’, ‘Theaetetus’ en ‘Timaeus’ een ‘afdalende’ tendens waarneembaar naar de zintuiglijke werkelijkheid waarbij beweging en het veranderlijke serieus worden genomen, zonder de Vormenleer te verlaten.[46]

7. ‘Philebus’ en andere late dialogen: de nieuwe metafysica

In de ‘Philebus’ is de meer pythagorese versie van de Vormenleer, waartoe in ‘Parmenides’ de aanzet is gegeven, tot wasdom gekomen. De achtergrond wordt – nog steeds – gevormd door het participatieprobleem hoe het ene veel en het vele één kan zijn en in ‘Philebus’ 16c-e wordt ter antwoord een nieuwe ontologie en methodologie gegeven:

            “A gift of heaven, which, as I conceive, the gods tossed among men by the hands of a   new Prometheus, and therewith a blaze of light; and the ancients, who were our betters          and nearer the gods than we are, handed down the tradition, that whatever things are said to be [that those things that are always said to exist][47] are composed of one and many, and have the finite and infinite implanted in             them: seeing, then, that such is the order of the world, we too ought in every enquiry to begin by laying down one idea of            that which is the subject of enquiry; this unity we shall find in everything. Having          found it, we may next proceed to look for two, if there be two, or, if not, then for three            or some other number, subdividing each of these units, until at last the unity with             which we began is seen not only to be one and many and infinite, but also a definite     number; the infinite must not be suffered to approach the many until the entire number           of the species intermediate between unity and infinity has been discovered,—then, and         not till then, we may rest from division, and without further troubling ourselves about    the endless individuals may allow them to drop into infinity.”

Met de nieuwe Prometheus moet Pythagoras zijn bedoeld, maar de tekst inzake de dingen waarvan gezegd wordt dat ze bestaan is dubbelzinnig: afhankelijk van de interpretatie kan het naar de zintuiglijke dingen, Vormen of beide verwijzen. Gelet echter op de conclusie van ‘Parmenides’ dat zowel Vormen als dingen één en veel zijn, moet worden aangenomen dat dat ook hier is bedoeld, waarmee de tekst dat de bestaande dingen zijn samengesteld uit het ene en vele en het begrensde en onbegrensde bovendien correspondeert met de opvatting die Aristoteles aan Plato toeschrijft dat Vormen bestaan uit het Ene (dat als ‘formeel beginsel’ bepaling dus begrenzing geeft) en de Dyade (dat als ‘materieel beginsel’ het onbegrensde is) en dat de dingen worden geconstitueerd door de Vormen en de Dyade en dus dezelfde bestanddelen hebben. Uit deze ontologie volgt een methodologie die veel lijkt op die van ‘bijeennemen’ en ‘uiteennemen’ van de ‘Sophist’, maar nu met toevoeging van het onbegrensde: ontologisch gezien creëren de goden uit het onbegrensde de Vormen (door aan het onbegrensde gepaste begrenzingen cq. getal op te leggen) en bundelen die samen tot een eenheid, maar de dialecticus volgt de omgekeerde route en veronderstelt de eenheid om, wanneer die is gevonden, vervolgens de verschillende Vormen te onderscheiden die de oorspronkelijke eenheid bevat en hun precieze aantal te bepalen alvorens het onderzochte weg te laten zakken in de ongevormde apeiron.

In 23c e.v. wordt voorts al wat bestaat verdeeld in de klassen[48] van het onbegrensde (dat dus ook één is en gekenmerkt wordt door het ‘meer’ of ‘minder’: 24e8-25a2), begrenzing (dat dus ook veel is met als gemeenschappelijk kenmerk dat het zich tot een verhouding tussen getallen of maten laat reduceren: 25a6-b1), de vermenging daarvan en de oorzaak van die vermenging. De gemengde klasse bevat dezelfde dubbelzinnigheid als die in 16c: enerzijds betreft het uitdrukkelijk dingen die zijn voortgebracht (bv. 27b8-9), wat naar de zintuiglijke dingen lijkt te verwijzen, en anderzijds wat uitdrukkelijk mooi en volmaakt is (bv. 25e e.v.), wat naar de Vormen lijkt te verwijzen. Een meer conservatieve interpretatie luidt dat de Vormen het ene en de peras vormen (dus ongemengd zijn, zoals wordt bevestigd in 59c),[49] maar dit lijkt niet alleen in strijd met ‘Parmenides’ maar ook met de ‘goddelijke’ methode in 16d waarbij de Vormen worden geanalyseerd tot een veelheid tot uiteindelijk ook zij in apeiron verdwijnen. Daarbij biedt 26d7-10 een verheldering: “when I speak of the third class, understand me to mean any offspring of these, being a birth into true being, effected by the measure which the limit introduces.”. Hierin zou men een gradatie van de werkelijkheid kunnen lezen die Vormen en dingen omvat: naarmate het mengsel meer peras bevat wordt het volmaakter en werkelijker omdat peras “puts an end to difference and opposition, and by introducing number creates harmony and proportion among the different elements” (25d8-e3). Peras geeft bepaling en daarmee identiteit en kenbaarheid aan de dingen en als de peras erin slaagt de apeiron volledig binnen te dringen, dan wordt de volmaakte harmonie bewerkstelligd hetgeen met de Vormen kan worden geassocieerd.  

De Vormen zijn zo de juiste of volmaakte proporties waaraan de dingen hun identiteit en kenbaarheid ontlenen voor zover ze erin participeren, welke term nu een duidelijke betekenis krijgt: participeren is het naderen van de volmaakte proportie waardoor de dingen zelf – in zekere mate – eenheid en telbaarheid en daarmee bepaling krijgen. De Vorm behoudt zo zijn karakter als paradigma en oorzaak, al komt er een fundamentelere oorzaak bij (dat is de vierde ontologische klasse die de vermenging van peras en apeiron bewerkstelligt en die in de ‘Timaeus’ optreedt als goddelijke Intelligentie).[50] Maar anders dan voorheen zijn de Vormen nu zelf ook voortgebracht en gemengd en wel door dezelfde beginselen (van het onbegrensde en het begrenzende) als die de dingen voortbrengen, waarmee het participatieprobleem is opgelost. Waar de dingen echter van en naar de ideale proporties kunnen bewegen (bij de mens resulterend in smart en genot), zijn de Vormen als de volmaakte proporties onveranderlijk, waardoor Plato de Vormen bovenal kan behouden als de onveranderlijke objecten van kennis. Wiskunde leidt ons tot die kennis, nu de voor kennis vereiste bepaling – die de Vorm bezit – berust op numerieke maat en proportie. Weliswaar komen de Vormen voort uit de participatie van een kwalitatieve apeiron (het meer en minder, bv. warmer en kouder) in het Ene terwijl de getallen voortkomen uit de participatie van een kwantitatieve apeiron (het grote en kleine) in het Ene, maar als een exacte bepaling (in tegenstelling tot de zintuiglijke dingen die een zekere vaagheid bezitten), zich uitend in een volmaakte verhouding van de samenstellende delen, is de Vorm gelijk aan het getal: de harmonieuze verhouding die de Vorm is komt tot stand door het getal in te voegen (25e1-3). Aldus kan Aristoteles schrijven dat voor Plato de Vormen getallen zijn of aan de getallen zijn verbonden.

De natuurlijke of ‘goddelijke’ ordening berust op de Vormen: daarom noemt Plato als voorbeeld van de gemengde klasse zaken als gezondheid, muziek en “duizenden andere weldaden”. Een verstoring of vernietiging van die natuurlijke harmonie (waarbij de peras zich een stukje terugtrekt uit de apeiron), zoals bij ziekte e.d., is beslist mogelijk (en geeft bijvoorbeeld pijn indien zij bij de mens plaatsvindt (31d)), maar de resulterende wanverhouding is voor Plato minder exact, werkelijk en kenbaar dan de volmaakte harmonie. Dit kan men wellicht het makkelijkst begrijpen met behulp van de opmerking in 25d10 dat de door peras bewerkstelligde juiste verhouding een einde maakt aan de verschillen en tegenstellingen van de samenstellende delen: een wanverhouding geeft verschil, conflict en dus onbalans, beweging en geen bepaling, maar een volmaakte verhouding geeft eenheid, balans en dus stabiliteit en bepaling. Meinwald suggereert dat Philolaus’ harmonieleer waarbij de perainonta en apeira de fysische objecten constitueren, Plato heeft geïnspireerd tot zijn leer van peras en apeiron die de Vorm constitueren, alsmede dat Plato’s verbinding tussen verhouding en harmonie verwijst naar Archytas’ opvatting dat bepaalde, mathematisch eenvoudigere, verhoudingen beter muzikale harmonie kunnen verklaren (welk onderzoek reeds in ‘Politeia’ 531b4-c4 was bepleit).[51] Inderdaad bestaat de klasse van peras bij Plato uit “first of all, equality, and the equal, or again, the double, or any other ratio of number and measure” (25a7-10) waarmee de eenvoudigste verhoudingen – die van het gelijke – het meest met de peras en dus met de volmaakte verhouding worden geassocieerd, hetgeen begrijpelijk is omdat peras eenheid brengt en verschillen wegneemt. Het ongelijke is het domein van het vele en de apeiron. En dat maakt duidelijk dat de getallen, die tegelijkertijd één en veel zijn, hun natuurlijke positie hebben tussen de veelheid van het zintuiglijke en de eenheid van de Vormen. Dat Vormen de volmaakte eenheden zijn, wordt in Aristoteles’ formulering uitgedrukt door het Ene op te vatten als de oorzaak van de essentie van Vormen en om die eenheid van de Vormen te benadrukken, zou men op grond van de analyse van de Vorm in meerdere eenheden bij de diairesis, waardoor de Vorm toch ook veel is, de Vorm met het Vormgetal kunnen associëren, maar Vormgetallen zijn uiteindelijk slechts de Vormen van getallen en op grond van de Vorm als volmaakte verhouding tussen het begrensde en onbegrensde lijkt Plato ook de Vormen met mathematische getallen te associëren. In zekere zin beheersen de (mathematische) getallen het hele systeem. Bovenaan staat de één (de eenheid), de Vormen hebben een zeker getal (die men bij de ‘goddelijke’ methode moet vaststellen: definitie hangt samen met harmonie) en bij het zintuiglijke is de Vorm en het getal uiteengevallen in de oneindigheid en onbepaalde veelheid (dat ondefinieerbaar want zonder harmonie is). Zoals behalve door ‘Philebus’ 26d7-10 ook door Theophrastus is gesuggereerd gaan de getallen ten slotte aan de Vormen vooraf in de zin dat het Ene eerst door middel van hoeveelheid (poson) bepaling en daarmee zijn of wezen (ousia) verleent aan het zonder maat of verhouding nog louter worden van de onbegrensde beweging van tegengestelden in hoedanigheid (poion).[52]

Deze ontologie en methodologie is de achtergrond en het instrument waarmee in ‘Philebus’ het goede wordt onderzocht in het kader van de ethische vraag welk leven, dat van het genot of van het inzicht, het beste is.[53] Het goede leven blijkt een mengsel te zijn, veroorzaakt door de geest (30d-e) en het meest benaderd door inzicht (65b e.v.), nu het goede als verbinding van elementen gebaseerd is op wat een verbinding goed maakt, dat is maat (metrion) en verhouding (summetros) (64d7-10) die ook waarheid (57d1-3) en schoonheid (64e) voortbrengen. Het goede kan aldus niet als één Vorm worden gevat maar is de eenheid van de drie Vormen schoonheid, verhouding en waarheid (65a) en in de eerste plaats maat (66a).[54] Deze conclusie lijkt zo ‘Symposium’, ‘Politeia’ en ‘Timaeus’ samen te nemen en deze met de verhouding en het Ene van ‘Philebus’ te verbinden: het goede manifesteert zich als schoonheid, de waarheid en de kosmologische ordening of goddelijke voorzienigheid en hun goede verhouding wordt voortgebracht door het getal in te voegen dus door participatie in het begrenzende of Ene dat eenheid voortbrengt (25d-e3). Het Goede kan daarmee met het Ene worden geassocieerd dat op zichzelf onkenbaar is, althans niet door de rede kan worden gedefinieerd nu zij niet onder één Vorm is te vatten, en dat ontologisch voorafgaat aan de (kenbare) volmaakte Vormen en de (getalsmatige) harmonie van de wereld waaraan zij de eenheid en de volmaaktheid verleent, waardoor het Goede zelf zo opnieuw voorbij het zijnde ligt.[55] En als het goede geassocieerd kan worden met het Ene en de begrenzing, dan kan het kwaad geassocieerd worden met het vele en het onbegrensde (dat op zichzelf eveneens geen bestaan en kenbaarheid bezit).[56]

In ‘Staatsman’ en ‘De Wetten’ wordt dit concept van het goede toegepast op de praktische aangelegenheid van het menselijk handelen. In ‘Staatsman’ 284e worden in het onderzoek naar de staatsmanskunst twee soorten meetkunst (metrêtikê) onderscheiden: de ene meet getal, lengte, diepte, breedte en snelheid ten opzichte van de tegengestelden zelf en de andere meet ten opzichte van de juiste maat (metrion) die het midden (meson) is tussen het Grote en Kleine dat nu dan ook het Exces en Tekort wordt genoemd.[57] Het goede als de juiste maat is nu uitdrukkelijk het normatieve referentiepunt voor het menselijk handelen (283e) en de basis van alle productieve kunst (technê) (284a e.v.). In ‘De Wetten’ IV 716c ten slotte wordt betoogd dat niet de mens (zoals Protagoras beweerde) maar God de maat van alle dingen is: alles wat is is dus niet slechts het product van de goddelijke technê, maar zij levert ons ook het objectieve richtsnoer voor ons handelen.

8. Plato’s ‘ongeschreven leer’

Traditioneel wordt ervan uitgegaan dat Aristoteles’ verwijzing naar Plato’s “zogenoemde ongeschreven leer” in ‘Fysica’ 209b15 verwijst naar de inhoud van Plato’s lezing “Over het Goede” die onder anderen Aristoteles in zijn ‘Metafysica’ als Plato’s leer heeft beschreven (zie §2). Dit heeft in de 20^ste eeuw ertoe geleid dat enerzijds – op autoriteit van Aristoteles en andere antieke schrijvers alsmede Plato’s eigen uitlatingen in ‘Phaedrus’ 275c-278b (en het ‘7^de epistel’ 341c) die suggereren dat Plato bewust zijn leer niet op schrift heeft gesteld – het standpunt is verdedigd dat deze “ongeschreven leer” de echte leer van Plato was (die we kunnen bestuderen zoals we ook de leer van Democritus kunnen bestuderen van wie het geschreven werk verloren is gegaan) en anderzijds het standpunt is verdedigd dat de bronnen inzake de “ongeschreven leer” onbetrouwbaar zijn en dat we Plato’s leer slechts in zijn dialogen kunnen vinden. Het eerste standpunt is met name door Gaiser en Krämer, later ook door onder anderen Szlezák en Reale, (de ‘Milaan-Tübingen’-school), het tweede door met name Cherniss verdedigd. Anderen hebben voor een middenweg gepleit waarbij de dialogen en de “ongeschreven leer” elkaar kunnen verhelderen en waarbij Sayre tot de conclusie is gekomen dat de “ongeschreven leer” in bepaalde late dialogen wordt aangetroffen in slechts iets andere termen.[58] Bij met name Sayre en de aanhangers van de middenweg vindt men meestal tevens de opvatting dat Plato’s late ontologie (wezenlijk) verschilt van die van de klassieke middenperiode, terwijl zowel de esoteristen als de anti-esoteristen zich meestal op het standpunt stellen dat er – in ieder geval vanaf de middenperiode – geen wezenlijke metafysische ontwikkeling bij Plato heeft plaatsgevonden. Ik zal kort op de verschillende standpunten ingaan.

a. Het esoterische standpunt

Volgens Gaiser bevat Plato’s leer van het Goede met name de opvatting dat de wereld bestaat uit combinaties van enerzijds het goede, dat op orde en eenheid berust, en het niet-goede, dat op onbepaalde pluraliteit berust, waarbij wiskunde de ordening, dus het goede, toont en hoe eenheid overgaat naar onbepaalde veelheid.[59] Krämer heeft een vergelijkbare opvatting, waarbij Plato naast Parmenides’ Absolute Ene de Onbepaalde Tweeheid zou hebben geplaatst waardoor de wereld (van Ideeën en de fenomenale dingen) kan bestaan. Het Ene is de grond van het bestendige, het kenbare en het goede van dingen. Het goede (aretê) berust op het midden (meson) dat een manifestatie is van het gelijke dat het beginsel is van harmonie die een manifestatie is van het Ene met het ‘meer’ en ‘minder’ of ‘exces’ en ‘tekort’ als het kenmerk van de Onbepaalde Tweeheid, waarbij Krämer naar ‘Philebus’ 24a, ‘Staatsman’ 283c-d en andere passages uit de dialogen alsmede naar onder andere Sextus Empiricus’ ‘Adversus Mathematikos’, X, 248-80 verwijst. Het Ene is aldus het eerste beginsel van Plato’s esoterische axiologie, epistemologie en ontologie, maar kan zelf niet positief beschreven worden waardoor de leer op zowel die van Parmenides als die van Plotinus lijkt.[60]

Blijkens zijn recensie van Krämers ‘Arete bei Platon und Aristoteles’, meent Vlastos dat geen enkel argument van Krämer deugt. Aan Vlastos kan worden toegegeven dat de referenties die Krämer ter onderbouwing van zijn standpunten hanteert niet altijd even gelukkig gekozen zijn: zo is het inderdaad twijfelachtig of in de “Sextus passage” wel naar Plato’s leer wordt verwezen en zijn ‘Phaedrus’ 274b-278e, waarin het geschreven woord als minderwaardig (een “afbeelding”) wordt gekwalificeerd, of ‘Timaeus’ 53cd, waarin het betoog een ‘eikos logos’ wordt genoemd, ontoereikend om tot een ongeschreven leer te concluderen.[61] Maar Vlastos negeert de verwijzingen naar met name de passages in ‘Philebus’ en ‘Staatsman’, waarin beslist argumenten zijn te vinden voor een interpretatie van Plato’s leer vergelijkbaar met die van Krämer. Ook hebben de esoteristen gelijk dat reeds in de vroegere dialogen aanknopingspunten voor die ‘esoterische’ leer zijn te vinden,[62] maar zij nemen te veel de ‘ongeschreven leer’ als leidraad om vervolgens de dialogen na te speuren op veelal metaforische of symbolische zinspelingen naar die ‘ongeschreven leer’.[63] Om bijvoorbeeld de these dat voor Plato het Goede het Ene is te onderbouwen, wijst Reale zo onder meer op ‘Politeia’ V 462a2-b3, waarin het opperste goed in een staat met eenheid en het opperste kwaad in een staat met veelheid wordt geassocieerd, en op het gebruik van de naam ‘Apollo’ zoals bij de uitroep ‘Apollo!’ in ‘Politeia’ VI 509c1, in verband met het betoog dat het Goede voorbij het zijnde ligt, en in ‘Cratylus’, waar Socrates de naam ‘Apollo’ het meest geschikt acht om de macht van God mee uit te drukken, dat zou verwijzen naar het gebruik van de pythagoreërs om met die naam het Ene aan te duiden (‘a-pollo’ = ‘niet-veel’).[64] Ongetwijfeld heeft Plato dergelijke ‘verborgen’ aanwijzingen in zijn dialogen gestopt, nu Plato duidelijk de verschillende literaire middelen die hem ten dienste staan gebruikt om zich uit te drukken. Maar er is geen reden om de dialogen als tweederangs of louter metaforisch te duiden: de dialogen bevatten immers vrij letterlijk de ‘ongeschreven leer’. Daarbij laten de dialogen zien dat de methodologie en metafysica zich wel degelijk voortdurend ontwikkelde.

b. Het anti-esoterische standpunt

Cherniss wijst erop dat de doctrine van de ‘ongeschreven leer’ inconsistent is met de berichtgeving van Aristoxenus over Plato’s lezing ‘Over het Goede’ dat de toehoorders, waaronder Aristoteles en andere Academieleden, de lezing raadselachtig vonden.[65] Aristoteles’ getuigenis van Plato’s leer is voorts in strijd met wat we in de dialogen vinden, bijvoorbeeld met ‘Philebus’ 59c, waar de Vormen ongemengd worden genoemd, en ten onrechte meent Aristoteles zo ook dat de participant van de ‘Timaeus’ – die hij bovendien ten onrechte met materie identificeert – en het niet-zijn – dat hij bovendien ten onrechte opvat als een absoluut niet-zijn in plaats van een anders-zijn – bij Plato identiek zijn.[66] Aristoteles’ interpretatie van Plato’s leer is dan ook een misinterpretatie die voortkomt uit het feit dat Aristoteles meent te kunnen zeggen wat een voorganger bedoelde of met zijn woorden impliceert maar zelf nog niet kon zeggen.[67] De gebruikelijke polemische werkwijze van Aristoteles is bovendien dat hij de beweringen van zijn voorgangers, liefst bijeengenomen, herformuleert in de terminologie van zijn eigen systeem, de algemene principes eruit afleidt en ze dan weerlegt. Daardoor schrijft hij bijvoorbeeld Xenocrates’ gelijkstelling van ziel en getal aan Plato toe en misinterpreteert hij Plato’s Vormenleer in een ontologische hiërarchie van Vormen met Zijn en Eenheid als hoogste genera.[68] Het feit dat Plato’s directe studenten Speusippus, Xenocrates en Aristoteles het oneens waren over de juiste interpretatie van Plato’s dialogen (zelfs of de creatie van de kosmos in ‘Timaeus’ letterlijk moet worden opgevat) wijst erop dat er geen communicatie met Plato was over deze zaken en dat zij niets meer van Plato’s leer wisten dan wij.[69] Trouw aan zijn eigen kennisleer gebruikte Plato niet zijn autoriteit om de Vormenleer, laat staan een juiste interpretatie ervan, aan iemand op te dringen, waardoor nota bene Speusippus, die niet in Vormen geloofde, Plato’s opvolger kon worden.[70]

In reactie op Cherniss heeft Gaiser, die het bestaan van (de inhoud van) die lezing een bewijs acht voor het bestaan van Plato’s esoterische doctrine, betoogd dat uit de overgeleverde tekstfragmenten slechts blijkt dat Simplicius Plato’s lezing raadselachtig vond, maar niet dat de aanwezige studenten zoals Aristoteles haar raadselachtig vonden.[71] Maar indien we de bronnen zo begrijpen dat ook de studenten van Plato de lezing raadselachtig vonden, dan resteren weinig andere opties dan Sayre’s suggestie dat Plato met de lezing zijn nieuw ontwikkelde late ontologie wilde uitproberen[72] en Cherniss’ suggestie dat Plato niet met de anderen communiceerde en Aristoteles erop los fabuleerde ten aanzien van Plato’s leer. Dat Plato niet communiceerde is echter onwaarschijnlijk (want wat is dan het nut van een ‘Academie’?), maar aan Cherniss kan wel worden toegegeven dat de relatie waarschijnlijk niet die van meester-leerling zal zijn geweest en dat Aristoteles Plato’s leer niet altijd correct weergeeft.[73] Toch kunnen we aannemen dat Aristoteles’ beschrijving in hoofdlijnen deugt, nu een vergelijkbare leer in de dialogen is terug te vinden (en in die zin heeft Cherniss dan ook gelijk dat er geen ‘ongeschreven leer’ is). Wel zal Plato zijn leer niet hebben willen opleggen, niet alleen niet in de Academie maar ook niet in de dialogen, nu Plato meer een gids dan een dogmaticus wilde zijn omdat wijsheid volgens Plato in het denken zelf moet worden ontdekt na een levenslange studie. Zijn dialogen willen duidelijk prikkelen tot dat onderzoek waarbij het zinloos zou zijn de wijsheid als vrucht daarvan – als Plato al zou menen die zelf reeds te hebben ontdekt of te kunnen meedelen – reeds dogmatisch uit een te zetten:

            “Furthermore, to write down the times at which, and during which, they ought to           receive the several kinds of instruction, would be a vain thing; for the learners            themselves do not know what is learned to advantage until the knowledge which is the       result of learning has found a place in the soul of each. And so these details, although             they could not be truly said to be secret, might be said to be incapable of being stated       beforehand, because when stated they would have no meaning.”[74]

c. Het synthetiserende standpunt

Bij wat ik het synthetiserende standpunt noem vat men zowel de dialogen als de interpretatie van Plato’s leer door met name Aristoteles op als betrouwbare weergaven van die leer waarbij men de twee probeert te verzoenen. Sayre heeft in dit verband uitvoerig beargumenteerd dat de belangrijkste stellingen die Aristoteles aan Plato toeschrijft – te weten 1) getallen komen voort uit de participatie van het Grote en Kleine in Eenheid 2) zintuiglijke objecten worden geconstitueerd door Vormen en het Grote en Kleine 3) Vormen bestaan uit het Grote en Kleine en Eenheid 4) Vormen zijn getallen 5) het Goede is Eenheid – in Plato’s latere dialogen, met name in de ‘Philebus’, zijn te vinden.[75] Op een aantal hoofdpunten deel ik Sayre’s analyse, maar hij suggereert met name ten onrechte dat er sprake is van een radicale ommezwaai in Plato’s metafysische ontwikkeling, namelijk van een absolutistisch Eleatisme naar een welhaast immanent pythagoreïsme, waarbij in de late ontologie de Vorm met de peras zou zijn vereenzelvigd en de Vormen niet meer gescheiden van de dingen zouden bestaan en ook hun volstrekte onafhankelijkheid zouden hebben verloren.[76] Ten dele lijkt hier sprake van misleidende of dubbelzinnige bewoordingen, nu Sayre tevens blijk geeft van een in mijn opvatting correcte uitwerking van de relevante distincties, maar tegelijkertijd wordt een tegenstelling tussen de midden- en late ontologie gesuggereerd die geen steun vindt in de dialogen: Plato is nooit een Eleaat geweest en nooit een pythagoreër geworden. In feite heeft Plato altijd slechts aan Vormen het predicaat van bestaan in volle zin willen geven, zodat Vormen als volmaakte verhouding tussen peras en apeiron de begrensde zijnden bij uitstek zijn en als immaterieel, volmaakt en onveranderlijk zijn zij altijd ‘gescheiden’ in de zin van ‘onafhankelijk’ blijven bestaan van de – materiële, onvolmaakte en veranderlijke – dingen. En reeds in de ‘Politeia’ bleken de Vormen afhankelijk van een beginsel van alles. Al met al lijkt Sayre met name onvoldoende te onderkennen dat Plato de Vormen – en daarmee ook de getallen – ontologisch boven de dingen is blijven plaatsen zonder daarmee hun onderlinge betrekking te verloochenen. Waarschijnlijk om die reden negeert Sayre Aristoteles’ herhaalde these dat het belangrijkste verschil tussen de pythagoreërs en Plato is dat pythagoreërs de getallen niet van de dingen scheiden en de werkelijkheid aldus als stoffelijk opvatten: “His divergence from the Pythagoreans in making the One and the Numbers separate from things, and his introduction of the Forms…”[77] Op dezelfde manier negeert hij ook Aristoteles’ these dat Plato de getallen tussen de dingen en de Vormen plaatste, waardoor de getallen als intermediair kunnen optreden en de wiskunde de betrekking inhoud geeft doordat het de zintuiglijke dingen via de meetkunde en de Vormen via de harmonieleer kan (re)construeren. Daarbij merk ik op dat reeds in ‘Politeia’ 530-531 – in het kader van het geschetste onderwijsprogramma – de harmonieleer veelzeggend al direct voorafgaat aan de dialectiek, maar dat Socrates er ook opmerkt dat de “ware, numerieke harmonie die men niet kan horen” alleen nuttig is voor de studie naar het Goede, waarmee hij zich uitdrukkelijk tegen de pythagoreërs keert die slechts het sensibele onderzoeken.

9. Conclusie

Plato heeft weliswaar nooit afstand genomen van Socrates’ gerichtheid op ethiek en definities, maar in zijn methodologische en metafysische ontwikkeling heeft hij zich steeds verder van Socrates verwijderd: niet alleen richtte hij zijn blik onder invloed van heraclitische en Eleatische opvattingen op onveranderlijke en bovenzinnelijke Vormen, maar hij richtte zijn blik ook reeds vanaf de vroege dialogen op de wiskunde als model van kennis. Met een ontwikkeling van de methodologie, die steeds meer aan de wiskunde en het pythagoreïsme ontleende ten koste van de elenctische methode van Socrates, ging een metafysische ontwikkeling gepaard, waarbij de dialectiek zich nog slechts boven de wiskunde stelde doordat de dialecticus het inzicht verwerft dat de wiskundige ordening van de wereld een ware en goede ordening is en aldus tevens het objectieve richtsnoer voor ons handelen vormt. Nadat in ‘Parmenides’ een aantal problemen ten aanzien van de klassieke, sterk door het Eleaticisme beïnvloede, Vormenleer waren geformuleerd, waarbij met name het probleem van de participatie (het ‘één-veel’-probleem) en de onmogelijkheid van kennis bij absolute Vormen een aanpassing van de Vormenleer vereiste, wordt in de latere dialogen een meer pythagorese ontologie en methodologie ontwikkeld, gebaseerd op de opvatting dat alles één en veel, begrensd en onbegrensd is, en waarbij ook de tegenstelling tussen zijn en worden wordt losgelaten. In de ‘Philebus’ verbindt Plato de socratische gerichtheid op ethiek en definities en de ontologische Vormenleer, gebaseerd op het Eleatische concept van het ene en onveranderlijke, met de pythagorese harmonieleer, gebaseerd op de kennisleer en metafysica van met name Philolaus, resulterend in een ontologisch schema dat door het getal wordt beheerst en waarin een gradatie van de werkelijkheid tot stand is gekomen met het Ene, dat met het Goede kan worden geassocieerd, als grondslag van het zijnde dat getal is en tot stand komt door de participatie van de Onbepaalde Tweeheid in het Ene en met de wiskundige objecten als intermediair tussen de Vormen als volmaakte zijnden en de onvolmaakte dingen.

De op deze wijze gemathematiseerde Vormenleer is door Aristoteles in met name Boek A van de ‘Metafysica’ beschreven als Plato’s leer. De anti-esoterist heeft gelijk in de zin dat Aristoteles’ beschrijving in feite een interpretatie is van Plato’s dialogen, maar deze is alleszins een redelijke interpretatie. De door de esoteristen geschetste ‘ongeschreven leer’ is inhoudelijk dan ook grotendeels een correcte beschrijving van Plato’s leer, maar nu deze leer in Plato’s dialogen, met name in de ‘Philebus’, is te vinden, is er geen reden om deze leer als esoterisch te duiden: dat de dialogen geen dogmatische uiteenzetting ervan leveren heeft veeleer te maken dat Plato sowieso geen dogmaticus was en meende dat wijsheid slechts tot stand kan komen na een levenslange studie en zelfonderzoek. De esoteristen hebben gelijk dat er reeds in de vroegere dialogen aanknopingspunten zijn te vinden die wijzen naar de metafysica zoals beschreven door Aristoteles, maar dat neemt niet weg dat er een belangrijke en doorlopende ontwikkeling heeft plaatsgevonden die telkens werd gestimuleerd door enerzijds aan het licht getreden problemen inzake de methode of leer, zoals Meno’s paradox of die van de ‘Parmenides’, en anderzijds voortschrijdende verdieping in wiskunde en pythagoreïsme. Er heeft echter geen radicale metafysische wijziging plaatsgevonden: veeleer is de late metafysica de ontwikkeling van de kiemen die reeds in de vroegere dialogen kunnen worden aangetroffen. Daarbij heeft Plato met name altijd geloofd in een kenbare ordening van de werkelijkheid die in volle zin wordt gevormd door de volmaakte Vormen op grond van onveranderlijkheid en bepaaldheid, dat wordt geconstitueerd door het getal zodat de wiskunde als paradigma van kennis ons de weg wijst, waarbij het uiteindelijke hoogste dialectische inzicht de goedheid en eenheid van die ordening betreft.

Eindnoten

[1] Voor de citaten uit het werk van Aristoteles en Plato heb ik veelal gebruik gemaakt van vertalingen die online beschikbaar zijn gesteld (zie onder Bronverantwoording voor enkele nadere gegevens).

[2] ‘Metafysica A’ is uitdrukkelijk gericht op de beginselen van verandering, reden waarom Aristoteles de Eleaten sowieso slechts (zeer) beperkt kan bespreken: “The discussion of them is in no way appropriate to our present investigation of causes.” (‘Metafysica A’ 986b13-14).

[3] Zie ‘Metafysica A’, noot 130, waarbij De Ley verwijst naar Gaiser: ‘Platons ungeschriebene Lehre’, p. 22 e.v. Ik merk op dat Vormgetallen onder meer in ‘Phaedo’ 101b-c optreden: bv. elk drietal heeft de Idee Drie als oorzaak. Deze Vormgetallen verschillen niet in kwantiteit – als Idee zijn ze alle één – maar slechts in positie in de opeenvolging (de Idee Twee is de eerste van de serie, de Idee Drie de tweede, etc).

[4] Zie Oosthoeks commentaar op ‘Metafysica N’ onder “Excursie III-2”, pp. 100-104.

[5] zie ‘Metafysica A’ 982a13-14 en 25-30.

[6] Zie Dijksterhuis: De mechanisering van het wereldbeeld, I:62.

[7] Het Griekse apeiron kan zowel oneindigheid als onbepaaldheid impliceren, waardoor ik de (letterlijkere) vertaling unlimited (onbegrensd) beter vind.

[8] Termen als ‘materiële oorzaak’ en ‘predicatie’ lijken toepassingen van Aristoteles’ eigen terminologie of zelfs eigen leer op Plato’s leer, zodat ik me genoodzaakt zie een en ander ‘terug te vertalen’ naar Platoonse terminologie.

[9] Aldus Aristoteles in ‘Metafysica A’ 986a20-28.

[10] Zie Oosthoeks commentaar op ‘Metafysica N’ onder “Excursie III-1” (pp. 97-100).

[11] Deze wijsheid laat Plato Socrates uitspreken in ‘Apologie’ 22e.

[12] Ook het relativisme van sofisten als Protagoras is een belangrijk doelwit van sommige dialogen: het onveranderlijke en daarmee het objectieve is voor Plato het kenmerk van het ware, zowel in epistemologische als in ontologische zin.

[13] Ook in ‘Hippias Major’ 392a-b wordt het getal wezenlijk van andere kwaliteiten onderscheiden.

[14] Zie Roochnik: Counting On Number, p. 552.

[15] Roochnik: Counting On Number, p. 553. Volgens Diogenes Laërtius in ‘Leven en leer van beroemde filosofen’, III-6, heeft Plato na Socrates’dood onder meer de pythagoreër Philolaus bezocht (hetgeen overigens Vlastos in ‘Elenchus and Mathematics’ p. 393 niet geloofwaardig acht).

[16] Huffman schetst Philolaus’ kennisleer als een soort pluralistisch Eleaticisme, waarbij de relaties tussen de zijnden door de wiskunde kunnen worden blootgelegd: zie Roochnik: Counting On Number, p. 553; ook Plato’s Ideeënleer kan wellicht een pluralistisch Eleaticisme worden genoemd.

[17] Zie Vlastos: Elenchus and mathematics, pp. 386-7.

[18] Later, in ‘Sophist’ 231b9, zal Plato de elenchus-methode “sophistry of noble lineage” noemen.

[19] Zie Plato: ‘Meno’ 86e4-6: “By ‘investigating from a hypothesis’ I refer to the way the geometricians frequently investigate.”.

[20] Reeds in Plato’s tijd waren meetkundigen met voortschrijdend succes bezig de meetkunde te axiomatiseren: zie bv. Vlastos: Elenchus and mathematics, p. 378, voetnoot 52, waar Vlastos Proclus citeert die vele wiskundigen in dat verband noemt.

[21] Zie Sayre: Plato’s Late Ontology, pp. 192-193.

[22] Zie ook Sayre: Plato’s Late Ontology, pp. 201-202.

[23] Zie Proclus: A Commentary on the First Book of Euclid’s Elements, pp. 54-56, Cherniss: The Riddle, pp. 65-66 en Vlastos: Elenchus and mathematics, pp. 1-2. Een bekend voorbeeld van Plato’s invloed is het “Platoonse axioma” in de astronomie. Dijksterhuis hekelt in ‘Mechanisering van het wereldbeeld’ I:63 ook de grote invloed van Plato op de Griekse wiskunde waardoor toepassing op het concept van verandering en de stoffelijke wereld werd verhinderd.

[24] Een dramatische formulering daarvan vindt men in ‘Apologie’ 38a: “The unexamined life is not worth living by man”.

[25] Zie Plato: ‘Politeia’ 539a8-b2 en 583e4.

[26] Vergelijk ‘Politeia’ 523a3: “for in every way it draws us towards reality, though no one uses it aright” en ‘Euthydemus’ 290c: “geometricians and astronomers and number-theorists – for they are … engaged in discovering reality – hand over their discoveries to the dialecticians, if they are not altogether stupid, since they know … not how to use them.”

[27] Dit klinkt wat anachronistisch, maar in de vorm van een scheppings-muthos zegt Plato dit met zoveel woorden in ‘Timaeus’ 29d9-30b. God is echter niet oppermachtig waardoor niet alles volmaakt is: zie ‘Politeia’ 379bc en ‘Timaeus’ 48a.

[28] Ook voor Aristoteles is de meest gezaghebbende wetenschap die wetenschap die de doeloorzaken geeft dus de wetenschap van het goede (zie ‘Metafysica A’ 982b4-11). Zie echter ook ‘Metafysica’ 988b12-16 waarin Aristoteles de platonisten bekritiseert omdat zij het goede als formele oorzaak in plaats van doeloorzaak hanteren: de dingen zijn bij Plato niet zozeer gericht op het goede maar de kosmische ordening is reeds goed, zodat een verklaring van iets moet laten zien waarom het goed is dat het (zo) is.

[29] Een alternatieve interpretatie van ‘Parmenides’ is dat Socrates een misinterpretatie van de Vormenleer vertegenwoordigt die binnen de Academie circuleerde naar aanleiding van de middendialogen en die Plato aan de kaak wilde stellen. Wat in ieder geval kan worden vastgesteld is dat de Ideeënleer, zoals uiteengezet in de middendialogen, na de ‘Parmenides’ – op hooguit de ‘Timaeus’ na – niet meer terugkeert.

[30] Sayre betoogt in ‘Plato’s Late Ontology’, p. 20 e.v. dat Parmenides’ veelal makkelijk te weerleggen argumenten in het eerste deel retorisch zijn die slechts dienen om ons voor te bereiden op de herziening van de leer in het tweede deel.

[31] Er zijn ook suggesties dat hypothese 1 van ‘Parmenides’ refereert aan Speusippus’ opvatting dat het Ene geen zijnde is: zie http://plato.stanford.edu/entries/speusippus/ onder 1. Metaphysics.

[32] Ook in hypotheses 3 en 7 is er een directe associatie tussen enerzijds het ene en vele en anderzijds peras en apeiron (plêthos). Zie voor de analyses van de verschillende hypotheses Sayre: Plato’s Late Ontology, Ch. 1 (voor de eerste twee hypotheses, zie m.n. § 3).

[33] Zie Aristoteles: ‘De Caelo’ 268a12-14: “For, as the Pythagoreans say, the world and all that is in it is determined by the number three, since beginning and middle and end give the number of an ‘all’, and the number they give is the triad.”

[34] Zie Ritter: The Essence of Plato’s Philosophy, m.n. pp. 164-165, waarin dit nader uiteen wordt gezet.

[35] Het is dan ook aannemelijk dat Aristoteles’ “eerste getallen” uit het fragment naar de priemgetallen verwijzen.

[36] Zie Sayre: Plato’s Late Ontology, pp. xv-xvi.

[37] Zie bijvoorbeeld ‘Hippias Major’ 303b-c, ‘Meno’ 82d e.v. en ‘Theaetetus’ 147-148.

[38] Theaetetus generaliseerde de bewijzen van Theodorus van Cyrene, die door Plato werd bewonderd, dat de wortel van 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15 en 17 irrationaal zijn tot een systematische theorie van incommensurabiliteit: zie bv. Vlastos: Elenchus and mathematics, Eindnoot A, voetnoot 7.

[39] Eudoxus’ definitie vindt men terug in Euclides’ ‘Elementen’, Boek V, als definitie 5. Sayre gaat in ‘Plato’s Late Ontology’, Hoofdstuk 2, §3, nog nader in op hoe Euclides’ definitie van mêtron kan worden verenigd met de definitie van het getal (arithmos) waar Aristoteles en Dedekind over spreken. Hoe Eudoxus deze proportieleer precies ontwikkelde, vindt men bv. in Huffer: Wiskunde, H.1., §5.

[40] De opvattingen binnen de Academie lijken overigens sterk uiteen te hebben gelopen: met name Speusippus zou de gehele Vormenleer verwerpen ten gunste van een vorm van neopythagoreïsme, terwijl Aristoteles het pythagoreïsme afwees en een ‘immanente’ Vormenleer zou ontwikkelen.

[41] Volgens Cherniss achtte hij de Vormen onverenigbaar met diairesis: zie The Riddle, p. 39. Waarschijnlijk werd hij in zijn afwijzing mede gemotiveerd door het ‘Derde Man’-argument, nu hij betoogde dat de oorzaak van een kwaliteit niet op dezelfde manier die kwaliteit kan hebben en gelet op het feit dat zijn systeem van mathematische getallen immuun voor het argument is omdat er van elk mathematisch getal reeds oneindig veel exemplaren zijn: zie Pepple: The Unwritten Doctrines, VI.

[42] Zie pagina 4 voor dat schema.

[43] Zie Owen: The place of the Timaeus in Plato’s dialogues (in ‘Studies in Plato’s Metafysics’). Hij baseert zijn opvatting op onder meer het feit dat Eudoxus’ nieuwe astronomie geen effect heeft gehad op de dialoog.

[44] Onder meer Szlezák neemt het standpunt in dat de hogere principes getallen betreffen die Plato niet aan het – onrijpe – publiek heeft willen meedelen: zie Szlezák: Reading Plato, p. 64.

[45] Zie Sayre: Plato’s Late Ontology, pp. 243-245, alwaar meer overeenkomsten worden genoemd.

[46] Dit lijkt in politiek opzicht te worden nagevolgd met de ‘De Wetten’ die bewust niet meer het ideale systeem beschrijft. Tegen het ‘Derde Man’-argument biedt ‘Timaeus’ 31a – evenals ‘Politeia’ 597c – nog het argument dat een tweede Vorm de eerste doet vervallen, maar dit antwoord is volstrekt onovertuigend.

[47] De tekst laat zich hier op verschillende wijzen vertalen: tussen haakjes heb ik de vertaling van Sayre in ‘Plato’s Late Ontology’, p. 119, gegeven.

[48] Deze klassen moeten niet met Vormen worden vereenzelvigd.

[49] Onder meer Cherniss in ‘The Riddle’, p. 18, en Friedländer in ‘Plato: 3. The dialogues’, pp. 324-325 hangen deze interpretatie aan.

[50] Volgens Friedländer in ‘Plato’, pp. 324-325 krijgt het ontologisch schema van de ‘Philebus’ in de ‘Timaeus’ een fysisch-mythische uitwerking met de ‘receptacle’ als het onbegrensde, de Vormen als het begrensde, de goede en begrijpelijke dingen in de kosmos als de mix en de Demiurg/god als de oorzaak.

[51] Zie Meinwald: Plato’s Pythagoreanism, pp. 92 en 95.

[52] Zie Oosthouts commentaar bij ‘Metafysica N’: excursus II-1 met daarin de verwijzing naar Theophrastus: ‘Metafysica’ 6b11-16.

[53] Waarschijnlijk reageert Plato met ‘Philebus’ op de ethische discussie tussen Eudoxus en Speusippus: zie http://plato.stanford.edu/entries/speusippus/, onder 3. Ethics.

[54] Genot, dat in 17e uitdrukkelijk tot het onbegrensde wordt gerekend, krijgt de laatste plaats.

[55] Deze negatieve kwalificaties van het Ene doen denken aan hypothese 1 van ‘Parmenides’; zie ook voetnoot 31.

[56] Voegt men hier nog de ziel (als getal) toe als intermediair tussen Vorm en de dingen, ontleend aan ‘Timaeus’, dan komt men al aardig in de buurt van de leer van het latere (neo)platonisme.

[57] Men herkent onmiddellijk Aristoteles’ ethiek van het goede als het midden tussen uitersten.

[58] Zie Sayre: Plato’s Late Ontology. Sayre’s conclusies zijn ten dele reeds geanticipeerd door sommige anderen die de middenweg hebben bepleit.

[59] Zie Gaiser: Plato’s Enigmatic Lecture, m.n. §4.

[60] Zie Vlastos: Review of Arete bei Platon und Aristoteles by H.J. Krämer, pp. 642-644.

[61] Zie Vlastos: Review en voor het ‘Timaeus’-argument Vlastos: Platonic Studies, pp. 399-403, waarin Vlastos het vervolg geeft van zijn discussie met Krämer. Zie ook mijn bespreking van ‘Timaeus’ waarin al is betoogd dat deze een eikos logos is omdat het het worden in plaats van het zijn beschrijft.

[62] Zo stelt Krämer zich op het standpunt dat Plato de belangrijkste beginselen van de esoterische leer reeds sedert de tijd van ‘Protagoras’ en ‘Lysis’ heeft ontwikkeld: zie Vlastos: Review, p. 641. Ikzelf wijs in dat verband op bv. de reeds geciteerde ‘Gorgias’ 508a, waarin het goede met meetkundige gelijkheid wordt geassocieerd.

[63] Burnet en Taylor zouden zelfs het standpunt in hebben genomen dat Plato’s dialogen slechts de positie van Socrates weergeven: zie Cherniss: The Riddle, p. 9.

[64] Zie Reale: The One-Good as load-bearing concept of Plato’s protology (in ‘New Images of Plato’), §§2a en 3b.

[65] Zie Cherniss: The Riddle, pp. 11-12.

[66] Ibid., pp. 18-25.

[67] Ibid., p. 30.

[68] Ibid., pp. 53-58 en 73.

[69] Ibid., pp. 74-75.

[70] Ibid., pp. 81-85.

[71] Zie Gaiser: Plato’s Enigmatic Lecture, §2, p. 9. Als verklaring voor het publieke karakter ervan heeft Gaiser voorts gesuggereerd dat Plato zich daartoe gedwongen moet hebben gevoeld in een poging de naam van de door het publiek als geheimzinnig en arrogant ervaren Academie te zuiveren, met name toen die extra in diskrediet was geraakt na publicaties van incompetente mensen als Dionysius van Syracuse waarmee niet alleen Plato’s leer onjuist werd weergegeven maar die bovendien de indruk versterkten van een verband tussen zijn leer en anti-democratische opvattingen: zie §8.

[72] Zie Sayre: Plato’s Late Ontology, p. 82.

[73] Sayre voegt hier nog aan toe dat Aristoteles Plato vooral als tegenstander zag en dat er, gelet op Aristoteles’ denigrerende uitlatingen over Plato’s filosofie, weinig contact tussen hen beiden zal zijn geweest, waarbij Aristoteles bovendien geen talent of interesse had om Plato’s denken richting hogere wiskunde te volgen: zie Plato’s Late Ontology, p. 83.

[74] Plato: ‘De Wetten’, Boek 12, 968d7-e7.

[75] Zie Sayre: Plato’s Late Ontology. Voor de vijf stellingen, zie bv. p. xi.

[76] Zie Sayre: Plato’s Late Ontology, m.n. H. 3, § 3, waarbij het slot van de voorafgaande paragraaf op p. 155 een en ander bij wijze van vooraankondiging als volgt samenvat: “It is part of the task of the following section to argue that such limits are what in another dialogue Plato would have called Forms, but with a very important ontological difference. For these Forms do not exist separately form sensible things.” Zie ook p. 14: “The ontology of the Philebus is entirely different. One fundamental departure from the earlier theory regards the ontological status of the Forms themselves. Whereas in the middle period Forms differed from sensible things (…) in not depending upon other things for what they are, in the Philebus the Forms are ontologically derivative.”

[77] ‘Metafysica A’ 987b29-32.



Bronverantwoording

Voor de Aristoteles-citaten heb ik met name gebruik gemaakt van de online-vertaling van Aristoteles’ werk op: http://classics.mit.edu/Aristotle/, waarbij ‘Metaphysics’ is vertaald door W.D. Ross en ‘On the Heavens’ door J.L. Stocks.

Voor de Plato-citaten heb ik met name gebruik gemaakt van: http://oll.libertyfund.org/?option=com_staticxt&staticfile=show.php%3Fperson=17&Itemid=28 waarop The Dialogues of Plato translated into English with Analyses and Introductions by B. Jowett, M.A. in Five Volumes, 3rd edition revised and corrected (Oxford: University Press, 1892), online beschikbaar is gesteld.

Allen, R.E. (Ed.). Studies in Plato’s Metaphysics. London: Routledge & Kegan Paul, 1965.

Aristoteles. Metaphysica A. Ingeleid, vertaald en geannoteerd door dr. H. de Ley. Baarn: Het Wereldvenster, 1977 (Dixit-reeks).

Aristoteles. De getallen en de dingen. De boeken M en N van de Metafysica. Ingeleid, vertaald en geannoteerd door Henri Oosthout. Kampen: Klement, 2003 (deel 1: boek M) en 2004 (deel 2: boek N) (Viator-reeks).

Cherniss, H. The Riddle of the Early Academy. Berkeley and Los Angeles: University of California Press, 1945.

Diogenes Laërtius. Leven en leer van beroemde filosofen. Vertaald, ingeleid en van aantekeningen voorzien door dr. Rein Ferwerda. Amsterdam: Ambo, 2002.

Dijksterhuis, E.J. De Mechanisering van het Wereldbeeld. Zesde Druk. Amsterdam: Meulenhoff, 1989 (eerste druk: 1950).

Friedländer, Paul. Plato. 3: The Dialogues, Second and Third Periods. Translated from the German by Hans Meyerhoff. Second printing. Princeton: University Press, 1970 (oorspr.: 1960).

Gaiser, Konrad. ‘Plato’s enigmatic lecture ‘On the Good’’ in Phronesis, Vol. 25, No. 1 (1980), pp. 5-37.

Huffer S.J., dr. E.J.E. Wiskunde. Een deductieve wetenschap. Roermond-Maaseik: J.J. Romen & Zonen, 1946 (Berchmanianum-serie).

Meinwald, Constance Chu. ‘Plato’s Pythagoreanism’ in Ancient philosophy, vol. 22 (2002), pp. 87 -101

Pepple, John. ‘The Unwritten Doctrines: Plato’s Answer to Speusippus’ online op http://personal.kenyon.edu/pepplej/

Proclus. A Commentary on the First Book of Euclid’s Elements. Translated, with Introduction and Notes, by Glenn R. Morrow. With a new foreword by Ian Mueller. Princeton: University Press, 1992 (oorspr.: 1970).

Reale, Giovanni and Scolnicov, Samuel (Eds). New Images of Plato. Dialogues on the Idea of the Good. Sankt Augustin: Academia, 2002.

Ritter, Constantin. The Essence of Plato’s Philosophy. Woking: Unwin Brothers Ltd., 1933 (oorspr.: 1931).

Roochnik, David. ‘Counting on Number: Plato on the Goodness of Arithmos’ in The American Journal of Philology, Vol. 115, No. 4 (Winter, 1994), pp. 543-563

Sayre, Kenneth M. Plato’s Late Ontology: A Riddle Resolved. With a new Introduction and the Essay “Excess and Deficiency at Statesman 283-285c”. USA: Parmenides Publishing, 2005 (oorspr.: 1983)

Szlezák, Thomas A. Reading Plato. Translated by Graham Zanker. New York: Routledge, 1999 (oorspr.: 1993)

Vlastos, Gregory. ‘Review of Hans Joachim Krämer: Arete bei Platon und Aristoteles’ in Gnomon, 35. Bd., H. 7 (Nov., 1963), pp. 641-655.

Vlastos, Gregory. Platonic Studies. Second Edition. Princeton: University Press, 1981 (oorspr.: 1973).

Vlastos, Gregory. ‘Elenchus and Mathematics: A Turning-Point in Plato’s Philosophical Development’ in The American Journal of Philology, Vol. 109, No. 3 (Autumn, 1988), pp. 362-396