Het einde van de wiskunde: doorbraken in de getaltheorie en het bewijsprobleem

Onderstaande is een tekst die ik in 2013 op filosofie.be heb geplaatst (http://filosofie.be/blog/porphyrios/3544/doorbraken-in-de-getaltheorie-en-het-bewijsprobleem/), maar ik besloot om 'm ook hier te plaatsen in verband met een tweet over de grenzen van de fysica hetgeen mij eraan herinnerde dat we in een bijzondere tijd leven waarin op zo ongeveer alle terreinen het einde is betoogd door iemand: het einde van de wetenschap (bv. door Horgan), het einde van de geschiedenis (Hegel, Marx, Fukuyama), het einde van de mens (Foucault), het einde van de filosofie (Rorty), het einde van het denken (Finkielkraut), het einde van de vooruitgang (Stent), het einde der natuurkunde (Lindley), het einde van de kunst (Hegel, Seubold), etc. En toen herinnerde ik me ook onderstaande tekst waarin ik min of meer het einde van de wiskunde betoog (en recentelijk heb ik hier ook uitvoerig het einde van de kunst betoogd), ook al lijkt wiskunde als 'denken wat kan worden gedacht' (wat overigens een typisch moderne opvatting van wiskunde is) - vergelijk trouwens filosofie als 'het denken van het denken' - schier onuitputtelijk. Ikzelf geloof dan ook in al deze 'einde van'-stellingen: niet als een apocalyptisch einde der tijden, maar wel in de zin dat elke ontwikkeling op een gegeven moment is uitgeput dan wel dat de ontwikkelde complexiteit zo groot is geworden dat we de greep erover kwijt raken zodat het systeem in chaos en onvoorspelbaarheid vervalt (men kan hier de chaostheorie invoegen) en gedoemd lijkt in te storten waarna we opnieuw de beschaving moeten opbouwen op basis van veel simpelere en meer natuurlijke regels (men kan hier de ideologie van het anarchisme invoegen). Hiervan lijkt ook sprake in ons economisch-financieel systeem (supercomputers op de beurs kopen en verkopen in nanoseconden en niemand heeft nog controle over het geheel) en de effecten ervan op het klimaat. We hebben onze productiviteit tot haar uiterste eindpunt gebracht - zowel qua denken als qua economische productie - en zo een kantelpunt in ons bestaan op Aarde bereikt.

PS. Op filosofie.be ben ik kort actief geweest en heb daar toen 21 artikelen geplaatst: http://filosofie.be/blog/4144/porphyrios/.

Weinig zaken spreken zo tot de verbeelding als getaltheorie, omdat haar onderwerpen ons zo vertrouwd zijn en haar problemen ook voor de leek vaak makkelijk te begrijpen zijn terwijl die veelal oeroude en simpel te formuleren problemen vaak zeer hardnekkig blijken en nog altijd op een oplossing wachten.

De moeilijkheid van haar problemen heeft onder meer te maken met de even elementaire als mysterieuze priemgetallen: elk natuurlijk getal is zelf een priemgetal of een uniek product van priemgetallen (dat is de hoofdstelling van de rekenkunde), maar de verdeling van deze ‘eerste’ getallen is nog altijd ten diepste mysterieus. Reeds de oude Grieken wisten dat priemgetallen steeds zeldzamer worden naarmate je verder telt, waarbij er willekeurig grote intervallen zijn te construeren die geen enkele priemgetal meer bevatten, maar een van de meest elegante bewijzen uit de wiskunde betreft het bewijs dat er evengoed oneindig veel priemgetallen zijn, zoals opgeschreven door Euclides omstreeks 300 vC: voorbij elk willekeurig groot natuurlijk getal zijn er priemgetallen. Priemgetallen komen meestal slechts in het nieuws omdat supercomputers (netwerken van zeer krachtige computers) hun rekenkracht demonstreren door een priemgetal te vinden die groter is dan de reeds bekende priemgetallen (en Euclides’ stelling garandeert ons dat een nog krachtigere conmputer een nog groter priemgetal zou kunnen vinden). Die enorme rekenkracht is nodig omdat het vinden van priemgetallen zeer bewerkelijk is (dus een typische taak voor een computer), al maakt men wel gebruik van wiskundige kennis van priemgetallen om de zoektocht iets efficiënter te maken, waardoor de gevonden grootste priemgetallen bijvoorbeeld bijna altijd priemgetallen van een specifieke vorm zijn: de zogenaamde Mersenne-priemgetallen. Overigens is nog niet bewezen dat er oneindig veel Mersenne-priemgetallen bestaan (http://en.wikipedia.org/wiki/Mersenne_prime).

Boeiender dan die rekenkracht van supercomputers zijn echter de vele nog onopgeloste problemen van de getaltheorie (hier is een indrukwekkende lijst met een groot aantal onopgeloste problemen van de wiskunde: http://en.wikipedia.org/wiki/Unsolved_problems_in_mathematics).

Maar nadat Wiles in 1995 de befaamde en intrigerende “Laatste Stelling van Fermat” had bewezen (http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_Last_Theorem), lijkt niets nog onmogelijk en wordt er ook qua de meest beruchte problemen van de getaltheorie baanbrekend werk verricht (zelfs reguliere media hebben de laatste tijd bericht over deze ontwikkelingen waardoor dit artikel is ontstaan). Deze problemen hebben vaak de vorm van een vermoeden: men vermoedt dat een bepaalde stelling waar is maar men heeft het vermoeden nog niet kunnen bewijzen. De uitdaging is aldus om het vermoeden te bewijzen (of om te bewijzen dat de stelling niet waar is of niet te bewijzen is). Ik noem drie klassieke – ook voor de leek eenvoudig te begrijpen – vermoedens waarin recentelijk belangrijke stappen naar een oplossing lijken te zijn gezet.

Het vermoeden van Goldbach: elk even getal (groter dan 2) is de som van twee priemgetallen (merk op dat hieruit volgt dat elk oneven getal, groter dan 7, de som is van drie priemgetallen). De even briljante als sympathieke wiskundige Terence Tao (zie zijn wiskundeblog http://terrytao.wordpress.com/ waarmee hij doorlopend met het grote publiek communiceert) heeft begin 2012 bewezen dat elk oneven getal (groter dan 1) de som is van maximaal vijf priemgetallen (http://terrytao.wordpress.com/2012/02/01/every-odd-integer-larger-than-1-is-the-sum-of-at-most-five-primes/) waarmee hij een belangrijke stap richting het bewijzen van Goldbachs vermoeden lijkt te hebben gezet.

Het priemtweelingvermoeden: er zijn oneindig veel priemgetallen die slechts twee eenheden van elkaar verschillen (bv. 13 en 15 vormen een priemtweeling). Zeer recentelijk is Yitang Zhang erin geslaagd om te bewijzen dat er oneindig veel priemgetallen zijn die maximaal 70 miljoen eenheden van elkaar verschillen (http://www.nature.com/news/first-proof-that-infinitely-many-prime-numbers-come-in-pairs-1.12989): een verschil van 70 miljoen lijkt nog een eind verwijderd van het beoogde verschil van 2, maar de eerste stap naar het bewijs is gezet!

Het abc-vermoeden: dit vermoeden is niet zo oud (namelijk van 1985) en wat minder eenvoudig uit te leggen, maar wordt wel alom beschouwd als een van de diepste en belangrijkste vermoedens van de wiskunde omdat het een diepe relatie tussen optellen en vermenigvuldigen zou blootleggen, waarmee het in één klap ook vele andere onopgeloste problemen zou oplossen of belangrijke stellingen eenvoudig zou bewijzen (niet in de laatste plaats volgt bv. Fermats Laatste Stelling zeer eenvoudig uit het abc-vermoeden). Nu beweert Shinichi Mochizuki (op 31 augustus 2012) dat hij het abc-vermoeden heeft bewezen (zie hier het eerste deel van het bewijs: http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20I.pdf) en als dat waar is dan is dat een enorme wiskundige sensatie. Het probleem is alleen dat Mochizuki een zeer eigenzinnige man is die als een soort eenmansuniversiteit een geheel nieuwe en uiterst complexe wiskundige theorie van vele duizenden pagina’s heeft ontwikkeld op basis waarvan hij het abc-vermoeden heeft bewezen en dat Mochizuki met niemand communiceert en volledig langs de officiële kanalen van peer-to-peer-reviews en lezingen opereert. Anders gezegd: niemand begrijpt zijn bewijs, Mochizuki zelf zwijgt in alle talen en dus weet niemand of het bewijs klopt. Dat is op zich nog niet zo uitzonderlijk, maar het doorgronden van zijn extreem lang en complex bewijs kost zelfs de meest briljante wiskundigen jaren van hun leven, dus wie gaat die klus klaren? En wie draagt hier welke verantwoordelijkheid: is het Mochizuki’s taak om zijn bewijs uit te leggen aan de wiskundige gemeenschap of is het de taak van die gemeenschap om Mochizuki’s werk te doorgronden? Van belang hierbij is wel dat niemand twijfelt over Mochizuki’s genialiteit, zodat iedereen Mochizuki’s bewering dat hij het abc-vermoeden heeft bewezen beslist serieus neemt: voordat Mochizuki een geheel eigen wiskundig universum ontwierp en zich daarmee van iedereen vervreemdde, was de wiskundige gemeenschap diep onder de indruk van Mochizuki’s briljante en toen nog leesbare papers (een interessant stukje over het serieuze probleem welke bewijzen je als wiskundige wel en welke je niet serieus zou moeten nemen is: http://www.scottaaronson.com/blog/?p=304). Het resultaat van dit alles is misschien wel dat niet het abc-vermoeden maar Mochizuki in het middelpunt van de belangstelling is gekomen (al weet niemand of Mochizuki zelf enige weet heeft van de heisa die hij heeft geschapen: de man lijkt zich alleen maar met zijn eigen wiskundig universum bezig te houden). De mythevorming rondom Mochikuzi heeft er trouwens zelfs toe geleid dat is geopperd dat Mochizuki de mysterieuze Satoshi Nakamoto, de uitvinder van de Bitcoin, zou zijn (al zijn de argumenten weinig overtuigend: http://www.youtube.com/watch?v=emDJTGTrEm0).

Een zeer goed stuk over de ‘zaak’ Mochizuki, waarin ook het abc-vermoeden helder wordt uitgelegd, is http://projectwordsworth.com/the-paradox-of-the-proof/ en zoals de titel “The paradox of the proof’ suggereert, raakt de zaak een filosofisch probleem van de wiskunde: wanneer is een stelling eigenlijk bewezen? Anders dan mensen misschien denken, is er geen limitatieve verzameling van objectieve logische regels of algoritmes die een wiskundige in acht neemt of moet nemen en op grond waarvan bv. een computer een wiskundig bewijs zou kunnen controleren (wiskunde laat zich niet reduceren tot logica of een computeralgoritme en ietwat mystiek gesproken houdt dat verband met het feit dat de wiskunde het oneindige betreft terwijl logica en algoritmes slechts eindige reikwijdte hebben): in de wiskunde is een zekere intuïtie nodig en geldt “anything goes” zolang je de wiskundige gemeenschap maar kunt overtuigen van jouw gelijk. In die zin is waarheid in de wiskunde een (inter-)subjectief begrip en is er de situatie niet wezenlijk anders dan in de filosofie: er is geen empirische of praktische toets, maar slechts de subjectieve overtuigingskracht op collega’s op grond van je argumentatie. Het enige verschil lijkt te zijn dat je in de wiskunde iedereen die geïnteresseerd is moet zien te overtuigen van je gelijk (in ieder geval in de zin dat niemand gaten in je betoog weet te schieten), terwijl dat in de filosofie een bij voorbaat vrij kansloze doelstelling lijkt te zijn. Wel gaat mij de wiskundige waarheid als ‘sociale constructie’ (zie bv. een verdediging hiervan op http://mathbabe.org/2012/08/06/what-is-a-proof/) wat te ver: de waarheid is misschien objectief (zoals in Frege’s “Derde Rijk”), maar haar acceptatie door de professionele gemeenschap door middel van het bewijs is subjectief, al betreft die subjectiviteit waarschijnlijk een algemene menselijkheid zodat een goed bewijs alle wiskundigen – maar niet perse een logicus of computerprogrammeur die strengere eisen stellen – overtuigt.

Sinds Hilberts axiomatisering van de meetkunde in 1899 en formalistisch programma van 1920 is er een tendens ontstaan om de wiskunde te formaliseren, zodat al haar stellingen kunnen worden bewezen door middel van louter symboolmanipulatie op grond van logische regels, maar niet alleen hebben Gödel en anderen aangetoond dat dit logisch niet mogelijk is, het doet ook onrecht aan hoe wiskunde in de praktijk ‘werkt’: wiskundigen zijn in wezen platonisten die hun waarheden ‘zien’ waarbij de bewijzen fungeren als het vingerwijzen zodat anderen het ook kunnen zien (het gaat dus niet om de formele correctheid van het bewijs, maar dat anderen het resultaat ook zien), terwijl een geformaliseerde wiskunde wel als (of door middel van) een computer stellingen kan spuwen maar deze stellingen ook al hun betekenis ontneemt zodat niemand nog iets ziet. Dat geeft ook de diepe ontevredenheid bij wiskundigen als een computer een stelling bewijst: de stelling is dan wel bewezen, maar de wiskundige ziet niets zodat zijn begrip van de wiskundige werkelijkheid niet groter is geworden (zie bv. http://arxiv.org/pdf/math/9404236v1.pdf). Maar waar dat subjectieve inzicht dat de wiskunde eigen is tot dusverre geen problemen gaf en slechts een probleem voor de filosofen bleef, lijkt er een kentering te zijn gekomen: de geleverde bewijzen worden steeds complexer en er wordt steeds vaker een bewijs geleverd dat nauwelijks iemand kan volgen zodat ook de wiskundige gemeenschap de vraag is gaan stellen wanneer een bewijs een bewijs is. In de zaak Moshizuki en het abc-vermoeden is er de hoop dat Go Yamashita het bewijs gaat doorgronden en het aan de gemeenschap kan uitleggen, maar zolang niemand daartoe in staat is resteert er slechts het vermoeden dat Mochizuki het abc-vermoeden heeft bewezen. In dat verband is het aardig te vermelden dat ook Fermat had beweerd dat hij zijn beroemde stelling had bewezen (maar hij zou te weinig ruimte in de kantlijn te hebben gehad om het op te schrijven): dat we toch Wiles zien als degene die de stelling heeft bewezen heeft er niet alleen mee te maken dat Fermat verzuimde zijn bewijs op te schrijven maar dat wij het ook ongeloofwaardig achten dat Fermat in zijn 17^de eeuw het bewijs überhaupt had kunnen leveren. Met Mochizuki is dat anders: hij heeft zijn bewijs wel opgeschreven en hopelijk zullen we eens weten of hij kan worden opgevat als degene die het abc-vermoeden heeft bewezen.